First Online 2026
MSC: Primary 20B05, secondary 11N32, 20B10, 20B15, 20D20
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-02
Full Text
Gareth A. Jones and Sezgin Sezer. Permutation groups of prime power degree and $p$-complements.
Extending earlier work of Guralnick and of Cai and Zhang, we classify the almost simple groups which have transitive permutation representations of prime power degree $p^k$, and those which have $p$-complements (stabilisers of order coprime to $p$ in such representations). We deduce that every primitive permutation group of prime power degree has a regular subgroup, and that any two faithful primitive representations of a group, of the same prime power degree, are equivalent under automorphisms. In general, $p$-complements in a finite group can be inequivalent under automorphisms, or even non-isomorphic. We extend examples of such phenomena due to Buturlakin, Revin and Nesterov by showing that the number of inequivalent classes of complements can be arbitrarily large. Questions concerning the existence of prime power representations and $p$-complements in groups with socle ${\rm PSL}_d(q)$ are related to some difficult open problems in Number Theory.
Keywords and phrases: $p$-complement, permutation group, primitive group, prime power degree, almost simple group
REFERENCES
1. Aletheia-Zomlefer S.L., Fukshansky L., Garcia S.R. The Bateman–Horn conjecture: heuristics, history, and applications. Expo. Math., 2020, vol. 38, pp. 430-479. https://doi.org/10.48550/arXiv.1807.08899
2. Arad Z., Fizman E. On finite factorizable groups. J. Algebra, 1984, vol. 86, no. 2, pp. 522–548.
3. Arad Z., Ward M.B. New criteria for the solvability of finite groups. J. Algebra, 1982, vol. 77, no. 1,
pp. 234–246. https://doi.org/10.1016/0021-8693(82)90288-5
4. Atlas of Finite Group Representations. Ver. 3. Available on: https://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3 .
5. Bateman P.T., Horn R.A. A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers. Math. Comp., 1962, vol. 16, pp. 220–228.
6. Bell G.W. On the cohomology of the finite special linear groups, I. J. Algebra, 1978, vol. 54, pp. 216–238.
7. Bennett M.A., Levin A. The Nagell–Ljunggren equation via Runge’s method. Monatshefte für Math. 2015, vol. 177, pp. 15–31. https://doi.org/10.48550/arXiv.1312.4037
8. Bouniakowsky V. Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières. Mém. Acad. Sci. de St-Pétersbourg, 6e série, 1857, vol. VI, pp. 305–329.
9. Bugeaud Y., Mignotte M. L'équation de Nagell–Ljunggren $(x^n-1)/(x-1) = y^q$. Enseign. Math., 2002, vol. 48, pp. 147–168.
10. Burnside W. Notes on the theory of groups of finite order. Proc. London Math. Soc., 1895, vol. 26,
pp. 191–214. Collected Papers, Note VII, vol. I, pp. 561–214.
11. Buturlakin A.A., Revin D.O. On $p$-complements of finite groups. Siberian Electron. Math. Izv., 2013, vol. 10, pp. 414–417.
12. Cai Q., Zhang H. A note on primitive permutation groups of prime power degree. J. Discr. Math., 2015, Art. no. 194741, 4 p. https://doi.org/10.1155/2015/194741
13. Cameron P.J. Finite permutation groups and finite simple groups. Bull. London Math. Soc., 1981, vol. 13, no. 1, pp. 1–22. https://doi.org/10.1112/blms/13.1.1
14. Camina A.R., Everest G.R., Gagen T. M. Enumerating non-soluble groups – a conjecture of John G. Thompson. Bull. London Math. Soc., 1986, vol. 18, no. 3, pp. 265–268.
https://doi.org/10.1112/blms/18.3.265
15. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. ATLAS of Finite Groups. Oxford, Clarendon Press, 1985, 252 p. ISBN: 978-0-19-853199-9 .
16. Dickson L.E. A new extension of Dirichlet’s theorem on prime numbers. Messenger Math., 1904, vol. 33, pp. 155–161.
17. Dixon J.D., Mortimer B. Permutation Groups. NY, Springer, 1996, 348 p.
https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0731-3
18. Erdős P. On the scarcity of simple groups. Sci. Human Progress, 1974, pp. 229–232.
19. Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). Available on: https://www.mersenne.org .
20. Guralnick R.M. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra, 1983, vol. 81, no. 2,
pp. 304–311. https://doi.org/10.1016/0021-8693(83)90190-4
21. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math., 1923, vol. 114, pp. 1–70. https://doi.org/10.1007/BF02403921
22. Higman G. Enumerating p-groups. I: Inequalities. Proc. London Math. Soc., 1960, vol. 10, pp. 24–30.
https://doi.org/10.1112/plms/s3-10.1.24
23. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, Springer, 1967, 796 p.
https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3
24. Jones G.A. Regular subgroups of uniprimitive permutation groups of degree $p^3$, where $p$ is prime. Quart. J. Math., Oxford Second Ser., 1972, vol. 23, no. 91, pp. 325–336.
25. Jones G.A., Zvonkin A.K. Groups of prime degree and the Bateman–Horn Conjecture. Expo. Math., 2023, vol. 41, no. 1, pp. 1–19. https://doi.org/10.1016/j.exmath.2022.11.002
26. Jones G. A., Zvonkin A. K. Block designs, permutation groups and prime values of polynomials. Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 223–253.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-1-233-253
27. Jones G.A., Zvonkin A.K. Orders of simple groups and the Bateman–Horn Conjecture. Inter. J. Group Theory, 2024, vol. 13, no. 3, pp. 257–269. https://doi.org/10.48550/arXiv.2209.06510
28. Kazarin L.S. On the product of finite groups. Sov. Math. Dokl., 1983, vol. 27, pp. 354–357.
29. Li W. A note on the Bateman–Horn conjecture. J. Number Theory, 2020, vol. 208, pp. 390–399.
Available at: https://arxiv.org/pdf/1906.03370.pdf .
30. Ljunggren W. Noen setninger om ubstemte likninger av formen $(x^n-1)/(x-1)=y^q$. Norsk. Mat. Tidsskr., 1943, vol. 25, no. 1, pp. 17–20.
31. Mihăilescu P. Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture. J. Reine Angew. Math., 2004, vol. 572, pp. 167–195. https://doi.org/10.1515/crll.2004.048
32. Nagell T. Des équations indéterminées $x^2+x+1=y^n$ and $x^2+x+1=3y^n$. Nordsk. Mat. Forenings Skr., 1920, vol. 2, 14 p.
33. Nagell T. Note sur l'\'equation indéterminée $(x^n-1)/(x-1)=y^q$, Norsk. Mat. Tidsskr., 1920, vol. 2, pp. 75–78.
34. Nesterov M.N. Arithmetic of conjugacy of p-complements. Algebra and Logic, 2015, vol. 54, pp. 36–47.
https://doi.org/10.1007/s10469-015-9320-2
35. The Online Encyclopedia of Integer Sequences. Available at: https://oeis.org .
36. Schinzel A., Sierpiński W. Sur certaines hypothèses concernant les nombres premiers. Acta Arith., 1958, vol. 4, pp. 185–298; corrig. Acta Arith., 1959, vol. 5, pp. 259.
37. Wilson R.A. Finite Simple Groups. London, Springer, 2009, 298 p.
https://doi.org/10.1007/978-1-84800-988-2
38. Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste. Monatsh. Math. Phys., 1892, vol. 3, pp. 265–284.
https://doi.org/10.1007/BF01692444
Received April 8, 2026
Revised April 23, 2026
Accepted April 27, 2026
Published online May 12, 2026
Gareth A. Jones, School of Mathematical Sciences, University of Southampton, Southampton SO17 1BJ, UK,
e-mail: G.A.Jones@maths.soton.ac.uk.
Sezgin Sezer, Department of Mathematics, Istanbul Okan University, Istanbul, Turkey,
e-mail: sezgin.sezer@okan.edu.tr.
Cite this article as: Gareth A. Jones and Sezgin Seze. Permutation Groups of Prime Power Degree and $p$-Complements. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-02
На русском
Гарет А. Джонс и Сезгин Сезер. Группы подстановок степени, являющейся степенью простого числа, и $p$-дополнения
Расширяя более ранние результаты Гуральника, Цая и Чжана, мы классифицируем все почти простые группы, которые имеют транзитивные подстановочные представления, степени которых имеют вид $p^k$, где $p$ – простое число, и те, которые имеют $p$-дополнения (стабилизаторы порядка, взаимно простого с $p$, в таких представлениях). Мы заключаем, что каждая примитивная группа подстановок степени вида $p^k$, где $p$ – простое число, имеет регулярную подгруппу и что любые два точных примитивных представления группы одной и той же степени такого вида эквивалентны относительно группы автоморфизмов. В общем случае $p$-дополнения в конечной группе могут быть неэквивалентными относительно группы автоморфизмов или даже неизоморфными. Мы показываем, что число классов эквивалентности дополнений может быть сколь угодно большим, тем самым расширяя результаты, полученные ранее Бутурлакиным, Ревиным и Нестеровым. Вопросы, касающиеся существования представлений степеней вида $p^k$, где $p$ – простое число, и $p$-дополнений в группах с цоколем $PSL_d(q)$ связаны с некоторыми сложными открытыми проблемами в теории чисел.
Ключевые слова и фразы: $p$-дополнение, группа подстановок, примитивная группа, степень, являющаяся степенью простого числа, почти простая группа
