УДК 51-74, 519.6, 51-3, 681.5
MSC: 35C15, 35R30, 80A23, 65M32
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-286-295
Статья посвящена проблеме идентификации начальных условий в задаче теплопроводности, связанной с определением теплового состояния технического объекта в начальный момент времени. В работе предлагается подход к определению начальных условий посредством перехода от обратной задачи с неизвестными начальными условиями к интегральному уравнению, отражающему явную зависимость неизвестной функции начального условия от граничных условий. Для решения интегрального уравнения разработана вычислительная схема решения, основанная на применении регуляризирующих алгоритмов. Данный подход к решению задачи идентификации начальных условий распространяет результаты, полученные для обратной задачи теплопроводности и задачи идентификации функции источника на новый класс обратных задач.
Ключевые слова: идентификация, начальные условия, метод обработки информации, интегральное уравнение, обратная задача, регуляризация, численный метод.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Короткий А.И., Цепелев И.А., Исмаил-заде А.Т. Численное моделирование обратных ретроспективных задач тепловой конвекции с приложением к задачам геодинамики // Изв. Урал. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. Т. 11, № 58. С. 78–87.
2. Lukyanenko D. V., Borzunov A. A., Shishlenin M. A. Solving coefficient inverse problems for nonlinear singularly perturbed equations of the reaction-diffusion-advection type with data on the position of a reaction front // Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2020. Vol. 20, no. 4. P. 727–737. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2021.105824
3. Кузнецова А.Э., Скворцова М.П., Стефанюк Е.В. Решение обратной задачи теплопроводности по идентификации начального условия краевой задачи // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия: Техн. науки. 2014. № 3(43). С. 155–162.
4. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational heat transfer. Vol. 2. Finite difference methodology. Chichester: Wiley, 1996. 432 р.
5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 519 с.
6. Васильев В.И., Кардашевский А.М., Попов В.В. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности с неоднородными граничными условиями Дирихле // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 4. С. 27–41.
7. Еремеева М.С. Сравнение итерационных методов решения обратной ретроспективной задачи теплопроводности // Вестн. СВФУ. 2015. Т. 12. № 1. С. 15–24.
8. Дилигенская А.Н. Решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности на основе параметрической оптимизации // Теплофизика высоких температур. 2018. Т. 56, № 3. С. 399–406.
https://doi.org/10.7868/S0040364418030110
9. Efendiev Y., Pun S.M., and Vabishchevich P.N. Temporal splitting algorithms for non-stationary multiscale problems // J. Comput. Phys. 2021. Vol. 439, no. 1. Art. no. 110375.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2021.110375
10. Yaparova N. Numerical methods for solving a boundary-value inverse heat conduction problem // Inverse Probl. Sci. Engin. 2014. vol. 22, no. 5. pp. 832–847.
https://doi.org/10.1080/17415977.2013.830614
11. Япарова Н.М. Mетод решения обратной задачи идентификации функции источника с использованием преобразования Лапласа // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Сер.: Вычисл. математика и информатика. 2016. Т. 5, № 3. С. 20–35. https://doi.org/10.14529/cmse160302
12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
Поступила 23.01.2026
После доработки 2.02.2026
Принята к публикации 9.02.2026
Япарова Наталья Михайловна
д-р техн.-мат. наук, доцент
профессор
Южно-Уральский государственный университет (НИУ)
г. Челябинск
e-mail: natyap7@mail.ru
English
N. M. Yaparova. On identification of initial conditions in the inverse heat conduction problem.
This article is devoted to the issue of identifying initial conditions in an inverse heat conduction problem related to the challenge of determining the initial thermal state of a technical object. The article proposes an approach to identifying the initial conditions via reducing the original problem to an integral equation describing a direct relationship between the unknown function of the initial condition and the given boundary conditions. A regularizing numerical algorithm has been developed to solve the integral equation. The proposed approach to solving the problem of identifying initial conditions extends the results obtained for the boundary value inverse heat conduction problem and the internal thermal source identification problem to a new class of inverse problems.
Received January 23, 2026
Revised February 2, 2026
Accepted February 9, 2026
Natalia Mikchailovna Yaparova, Dr. Tehn. Sci., South Ural State University (NRU), Chelyabinsk, 454080 Russia, e-mail: natyap7@mail.ru.
Cite this article as: N.M.Yaparova. On identification of initial conditions in the inverse heat conduction problem. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 286–295.
