УДК 517.9 + 550.331
MSC: 35Q30, 76D05, 76T10, 76T15
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-122-130
Рассматривается обратная задача для стационарной гидродинамической модели диффузии-адвекции-реакции. Искомой величиной в обратной задаче является коэффициент температуропроводности модели. Для нахождения искомой величины должен использоваться след нормальной производной состояния модели на доступной части границы области ее функционирования. Решение обратной задачи сводится к экстремальной (вариационной) задаче на минимум некоторого подходящего функционала невязки с минимизацией на некотором множестве возможных искомых коэффициентов. Основное внимание в работе сосредоточено на вопросах численного моделирования обратной задачи. Задача рассматривается в условиях, когда след нормальной производной состояния модели является не обычной регулярной функцией, а обобщенной функцией (функционалом). Для решения задачи минимизации предлагается воспользоваться градиентными методами. Градиент функционала невязки находится явно аналитически из решения системы оптимальности, которая состоит из прямой и сопряженной задач. Для практической реализации градиентных методов предлагаются различные варианты выбора шага спуска, аппроксимации градиента. Приведены результаты численного решения некоторых модельных примеров, которые показывают работоспособность предложенного подхода к решению обратной задачи.
Ключевые слова: уравнение диффузии-адвекции-реакции, коэффициент температуропроводности, обратная задача, функционал невязки, экстремальная задача, вариационный метод, точка минимума
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
2. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 652 p.
3. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: ФМ, 1961. 203 с.
4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: УРСС, 2004. 480 с.
5. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.
6. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.
7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
8. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и их приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
9. Короткий А.И. Ассимиляция нерегулярных граничных данных при восстановлении коэффициентов моделей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 214–229. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-4-214-229
10. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
11. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston, London, Melbourn: Pitman Advanced Publishing Program, 1985. 410 p.
12. Adams R.A. Sobolev spaces. NY: Academic Press, 1975. 268 p.
13. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.
14. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
Поступила 23.01.2026
После доработки 9.02.2026
Принята к публикации 16.02.2026
Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Цепелев Игорь Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tsepelev@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.И. Короткий, И.А. Цепелев. Численное моделирование задачи восстановления параметров моделей по нерегулярным граничным данным // Тр. Ин-та матенматики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 122-130
English
A.I. Korotkii, I.A. Tsepelev. Numerical simulation of the problem of recovering model parameters based on irregular data
An inverse problem for a steady-state hydrodynamic diffusion-advection-reaction model is considered. The sought-after quantity in the inverse problem is the thermal diffusivity of the model. To find this quantity, the trace of the normal derivative of the model state must be used on an accessible part of the boundary of the model’s operating domain. The solution to the inverse problem is reduced to an extremal (variational) problem for minimizing some appropriate residual functional with minimization over a certain set of possible sought-after coefficients. The paper focuses on the numerical modeling of the inverse problem. The problem is considered under conditions where the trace of the normal derivative of the model state is not an ordinary regular function, but a generalized function (functional). To solve the minimization problem, it is proposed to use gradient methods. The gradient of the residual functional is found explicitly and analytically from the solution of the optimality system, which consists of the direct and adjoint problems. For the practical implementation of gradient methods, various options for choosing the descent step and gradient approximation are proposed. The results of numerical solutions for several model examples are presented, demonstrating the feasibility of the proposed approach to solving the inverse problem.
Keywords: diffusion–advection–reaction equation, thermal diffusivity coefficient, inverse problem, residual functional, extremal problem, variational method, minimum point
Received January, 23 2026
Revised February, 9 2026
Accepted February, 16 2026
Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Igor Anatolievich Tsepelev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: tsepelev@imm.uran.ru
Cite this article as: Korotkii A.I., Tsepelev I.A. Numerical simulation of the problem of recovering model parameters based on irregular data. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 122–130.
