УДК 512.542.5
MSC: 20D06, 20D30
https://doi.org//10.21538/0134-4889-2026-32-1-fon-02
Работа первого и третьего авторов выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2025-1549).
Конечные группы лиева типа образуют основной массив конечных простых групп, служащий моделью для их классификации, и имеют тесные связи с другими областями математики. Важным классом локальных подгрупп в конечной группе лиева типа являются параболические подгруппы. Пусть $U$ – нормальная подгруппа конечной группы $P$. Для главного ряда группы $P$, содержащего $U$, нормальный ряд подгрупп группы $U$, образованный всеми попавшими в $U$ членами этого главного ряда, будем называть включенным в $U$ фрагментом этого главного ряда. Нахождение всех включенных в $U$ фрагментов главных рядов группы $P$ влечет нахождение всех нормальных подгрупп группы $P$, содержащихся в $U$ Пусть $G$ – конечная простая группа лиева типа над полем характеристики $p$, отличная от группы Титса ${}^2F_4(2)'$, и $P$ – параболическая подгруппа в $G$ с унипотентным радикалом $U$. Группа $G$ называется специальной, если $p=2$ для групп $G$ типов $C_l$, $G_2$, $F_4$, ${}^2B_2$ или ${}^2F_4$ и $p=3$ для групп $G$ типов $G_2$ или ${}^2G_2$. Задача нахождения всех фрагментов главных рядов группы $P$, включенных в $U$, для всех параболических максимальных подгрупп $P$ группы $G$ исследовалась в работах ряда авторов, особенно в случае неспециальных групп $G$. Представляющий значительный интерес случай специальных групп $G$ был исследован в меньшей общности. В настоящей работе завершается описание всех фрагментов главных рядов группы $P$, включенных в $U$, с указанием нижнего и верхнего центральных рядов группы $U$ для всех специальных групп $G$ исключительного лиева типа и всех их параболических максимальных подгрупп $P$. Кроме того, аналогичные результаты получены для группы Титса ${}^2F_4(2)'$ и ее 2-локальных максимальных подгрупп.
Ключевые слова: конечная простая группа лиева типа, параболическая максимальная подгруппа, главный ряд, унипотентный радикал, фрагмент главного ряда
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. IV–VI. М.: Мир, 1972. 332 с.
2. Carter R.W. Simple groups of Lie type. London: John Wiley and Sons, 1972. 331 p. ISBN: 0471137359 .
3. Azad H., Barry M., Seitz G. On the structure of parabolic subgroups // Comm. Algebra. 1990. Vol. 18, no. 2. P. 551–562. https://doi.org/10.1080/00927879008823931
4. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Number 3, Part I. Providence: RI Amer. Math. Soc., 1998. 419 p. ISBN 0821803913 .
5. Tits J. Algebraic and abstract simple groups // Ann. Math. 1964. Vol. 80. P. 313–329. https://doi.org/10.2307/1970394
6. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p. ISBN 0-19-853199-0 .
7. Gorenstein D. Finite groups. NY: Harper and Row, 1968. 520 p. ISBN 0-8284-0301-0 .
8. Seitz G. Small rank permutation representations of finite Chevalley groups // J. Algebra. 1974. Vol 28, no. 3. P. 508–517. https://doi.org/10.1016/0021-8693(74)90057-X
9. Ree R. A family of simple groups associated with simple Lie algebra type $F_4$ // Am. J. Math. 1961. Vol 83. P. 401–420. https://doi.org/10.2307/2372886
10. Shinoda K. A characterization of odd order extensions of the Ree groups $^2F_4(q)$ // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. 1A. 1975. Vol. 22, no. 1. P. 79–102.
11. Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math. 1962. Vol. 75. P. 105–145. https://doi.org/10.2307/1970423
12. Ward H. N. On Ree’s series of simple groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 121, no. 1. P. 62–89. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1966-0197587-8
13. Parrot D. A characterization of the Ree groups $^2F_4(q)$ // J. Algebra. 1973. Vol. 27, no. 2. P. 341–357.
14. Fong P., Seitz G. Groups with a (B,N)-pair of rank 2. II // Invent. Math. 1974. Vol. 24, no. 3. P. 191–239.
15. Assa S. A characterization of $^2F_4(2)′$ and the Rudvalis group // J. Algebra. 1976. Vol. 41, no. 2. P. 473–495. https://doi.org/10.1016/0021-8693(76)90194-0
16. Parrot D. A characterization of the Tits’ simple group // Can. J. Math. 1972. Vol. XXIV, no 4. P. 672–685.
17. Кораблева В. В. Письмо в редакцию // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т 28, № 2. C. 297–299. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-2-297-299
18. Кораблева В. В. О главных факторах параболических максимальных подгрупп группы $^2F_4(2^{2n+1})$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т 25, № 4. C. 99–106. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-4-99-106
19. Liebeck M. W. The affine permutation groups of rank three // Proc. London Math. Soc. (3). 1987. Vol. 54, no. 3. P. 477–516.
20. Кораблева В.В. О главных факторах параболических максимальных подгрупп специальных конечных простых групп исключительного лиева типа // Сиб. мат. журн. 2017. T 58, № 6. C. 1332–1340. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.612
Поступила 14.05.2025
После доработки 10.10.2025
Принята к публикации 13.10.2025
Опубликована онлайн 4.12.2025
Кондратьев Анатолий Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский математический центр
г. Екатеринбург
е-mail: a.s.kondratiev@imm.uran.ru
Кораблева Вера Владимировна
д-р физ.-мат. наук, доцент, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург;
профессор каф. компьютерной безопасности и прикладной алгебры
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
е-mail: vvkora@gmail.com
Трофимов Владимир Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский математический центр;
профессор, Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
е-mail: trofimov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.С. Кондратьев, В.В. Кораблева, В.И.Трофимов. О главных рядах параболических максимальных подгрупп конечных простых групп исключительного лиева типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Vol. 32, № 1. С. 105–121.
English
A.S. Kondrat'ev, V.V. Korableva, V.I. Trofimov. On chief series of parabolic maximal subgroups of finite simple groups of exceptional Lie type
Finite groups of Lie type form the main array of finite simple groups, serving as a typical model for their classification, and have close relations with other areas of mathematics. An important class of local subgroups of finite groups of Lie type are their parabolic subgroups. Let $U$ be a normal subgroup of a finite group $P$. For a chief series of $P$, containing $U$ as a member, the normal series of subgroups of $U$ formed by all the members of the original series contained in $U$ is called the fragment of the original chief series of $P$ included in $U$. The determination of all fragments of chief series of $P$ included in $U$ implies the determination of all normal subgroups of $P$ contained in $U$. Let $G$ be a finite simple group of Lie type over a field of characteristic $p$, different from the Tits group ${}^2F_4(2)'$, and $P$ be a parabolic subgroup in $G$ with the unipotent radical $U$. The group $G$ is called special, if $p=2$ for $G$ of type $C_l$, $G_2$, $F_4$, ${}^2B_2$ or ${}^2F_4$ and $p=3$ for $G$ of type $G_2$ or ${}^2G_2$. The problem of determination of all fragments of chief series of $P$ included in $U$ for all parabolic maximal subgroups $P$ of $G$ was well studied in the case of non-special groups $G$ by several authors. The case of special groups $G$ is of significant interest, but was less studied. In this paper, we complete the determination of all fragments of chief series of $P$ included in $U$ and find the lower and the upper central series of $U$ for all special groups $G$ of exceptional Lie type and all their parabolic maximal subgroups $P$. Furthermore, similar results for the Tits group ${}^2F_4(2)'$ and all its 2-local maximal subgroups are obtained.
Keywords: finite simple group of Lie type, parabolic maximal subgroup, chief series, unipotent radical, fragment of chief series
Received May 14, 2025
Revised October 10, 2025
Accepted October 13, 2025
Published online December 24, 2025
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2025-1549).
Anatoly Semenovich Kondrat’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ural Mathematical Center, Yekaterinburg, 620077 Russia, е-mail: a.s.kondratiev@imm.uran.ru
Vera Vladimirovna Korableva, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia; Prof., Chelyabinsk State University Chelyabinsk, 454001 Russia, е-mail: vvkora@gmail.com
Vladimir Ivanovich Trofimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Lead. Sci. Researcher, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Mathematical Center; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, е-mail: trofimov@imm.uran.ru
Cite this article as: A.S. Kondrat’ev, V.V. Korableva, V.I. Trofimov. On chief series of parabolic maximal subgroups of finite simple groups of exceptional Lie type. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2026б vol. 32, no. 1, pp. 105–121.
