УДК 517.9+532
MSC: 35Q30, 76D05
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-77-87
Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках государственного задания ФГУ НИЦ “Курчатовский институт” – НИИСИ – Выполнение фундаментальных научных исследований ГП 47 по теме № 0580-2021-0007 “Развитие методов математического моделирования распределенных систем и соответствующих методов вычисления”.
В работе рассмотрены точно решаемые задачи для уравнений Эйлера и Навье – Стокса для случая несжимаемой жидкости. Представлен анализ причин некорректности задач во множестве гармонических функций. Приведены точные решения на основе классических задач на собственные значения (линейных и нелинейных). Выделена слоистая структура предложенных гидродинамических течений в случае стационарных решений системы Эйлера и нестационарных решений системы Навье – Стокса в бесконечной цилиндрической области.
Ключевые слова: уравнения несжимаемой жидкости, решения уравнений Эйлера, система Навье – Стокса, точные решения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bernoulli Daniel. Hydrodynamica, sive de Viribus et Motibus Fluidorum Commentarii [Гидродинамика, или комментарии о силах и движении жидкостей]. Strasbourg: Johann Reinhold Dulsecker Publ., 1738. 324 p.
2. Эйлер Леонард. Общие законы движения жидкостей. 31 августа 1752 г., заседание Берлинской академии // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. № 6. С. 26–54.
3. d’Alembert, Jean Le Rond. Trait de l’equilibre et du mouvement des fluides [Трактат о равновесии и движении жидкостей]. Paris: David, 1744; Опыт новой теории сопротивления жидкостей. 1752.
4. Stokes G.G. On the theories of internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids [О теории внутреннего трения в движущихся жидкостях] // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1845. Vol. 8. P. 287–342.
5. Громека И.С. Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости: докт. дис. // Ученые записки императ. Казан. ун-та. 1882. № 5–6. С. 1–107; переизд.: Собр. соч. 1952. М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1952. C. 76–148.
6. Beltrami E. Considerazioni idrodinamiche // Nuovo Cimento. Ser. 3. 1889. Vol. 25, no. 1. P. 212–222; reprint: Considerations on hydrodynamics // Int. J. Fusion Energy. 1985. Vol. 3, no. 3. P. 53–57.
7. Стекловъ В.А. Одинъ случай движенiя вязкой несжимаемой жидкости // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1897. Т. 5. P. 101–124.
8. Trkal V. Poznámka k hydrodynamice vazkých tekutin // Cas. Pestování Mat. Fis. 1919. Vol. 48, no. 3. P. 302–311; reprint: A note on the hydrodynamics of viscous fluids // Czech. J. Phys. 1994. Vol. 44, no. 2. P. 97–106.
https://doi.org/10.1007/BF01701186
9. Leray J. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta Math. 1934. Vol. 63. P. 193–248.
https://doi.org/10.1007/BF02547354
10. Васильев О.Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных потоков. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1958. 142 с.
11. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. 203 c.
12. Arnold V.I. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits // C. R. Acad. Sci. Paris. 1965. Vol. 261. P. 17–20.
13. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.
14. Солонников В.А. О задачах гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в областях с некомпактными границами // Алгебра и анализ. 1992. Vol. 4, № 6. P. 28–53.
15. Bogoyavlenskij O.I. Exact solutions to the Navier–Stokes equations // C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 2002. Vol. 24, no. 4. P. 138–143.
16. Meleshko S.V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations. mathematical and analytical techniques with applications to engineering, NY: Springer, 2005. 368 p.
17. Галкин В.А. Анализ математических моделей. Системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. М.: БИНОМ, 2009. 408 с.
18. Богоявленский О.И. О задаче Кельвина 1880 года и точных решениях уравнений Навье – Стокса. Общеинститутский семинар “Математика и ее приложения” / МИАН. 2015.
19. Solonnikov V.A. On the model problem arising in the study of motion of viscous compressible and incompressible fluids with a free interface // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30, № 2. С. 274–317.
20. Bogoyavlenskij O. New exact axisymmetric solutions to the Navier--Stokes equations // Zeitschricht Naturforschung A. 2020. Vol. 75, no. 1. P. 29–42. https://doi.org/10.1515/zna-2019-0262
21. Ковалев В.П., Сизых Г.Б. Осесимметричные винтовые течения идеальной жидкости // Тр. МФТИ. 2016. Т. 8, № 3. С. 171–178.
22. Ковалёв В.П., Просвиряков Е.Ю., Сизых Г.Б. Получение примеров точных решений уравнений Навье – Стокса для винтовых течений методом суммирования скоростей // Тр. МФТИ. 2017. Т. 9, № 1. С. 71–88.
23. Шеретов Ю.В. О решениях задачи Коши для квазигидродинамической системы // Вестн. Твер. Гос. Унив. Сер. Прикладная математика. 2020. № 1. С. 84–96. https://doi.org/10.26456/vtpmk557
24. Галкин В.А., Дубовик А.О. О моделировании слоистого течения вязкой проводящей жидкости в области, изменяющейся во времени // Мат. моделирование. 2020. Т. 32, № 4. С. 31–42.
https://doi.org/10.20948/mm-2020-04-03
25. Галкин В.А. Об одном классе точных решений системы Навье — Стокса для несжимаемой жидкости в шаре и сферическом слое // Журн. вычисл. математики. и мат. физики. 2023. Vol. 63, no. 6. P. 1000–1005.
https://doi.org/10.31857/S004446692306008X
26. Галкин В.А., Дубовик А.О. Об одном классе точных решений системы уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости // Мат. моделирование. 2023. Т. 35, № 8. С. 3–13.
https://doi.org/10.20948/mm-2023-08-01
27. Галкин В.А., Смородинов А.Д., Моргун Д.А. Решение уравнения Навье – Стокса для сталкивающихся потоков // Успехи кибернетики. 2023. Т. 4, № 2. С. 8–15.
https://doi.org/10.51790/2712-9942-2023-4-2-01
28. Галкин В.А. О структуре винтовых осесимметричных решений системы Навье – Стокса для несжимаемой жидкости // Журн. вычисл. математики. и мат. физики. 2024. Т. 64, № 5. С. 780–790.
https://doi.org/10.31857/S0044466924050076
29. Пухначёв В.В. Винтовые течения и их двумерные аналоги // Прикл. механика и техн. физика. 2024. Vol. 65, no. 5. С. 169–177.
30. Мелешко С.В. Групповая классификация и анализ совместности уравнений, описывающих винтовые течения идеальной несжимаемой жидкости // Теорет. и мат. физика. 2025. Т. 225, № 1. С. 23–40.
https://doi.org/10.4213/tmf10940
31. Этюды о турбулентности: сб. ст. / Рос. АН; Редкол.: И.М. Макаров (пред.) и др. М.: Наука, 1994. 289 с.
32. Труды С. Н. Кружкова / сост. Н. С. Бахвалов, В. А. Галкин, Ю. А. Дубинский. М.: Физматлит, 2000. 334 с.
33. Darcy H. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Paris: Dalmont, 1856. 647 p.
34. Шестаков В.М. Гидрогеодинамика. М.: Из-во Моск. ун-та., 1995. 368 с.
35. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 c.
36. Келлер Дж.Б., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. 254 с.
Поступила 16.12.2025
После доработки 22.01.2026
Принята к публикации 26.01.2026
Галкин Валерий Алексеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
НИЦ “Курчатовский институт” — НИИСИ
г. Москва;
Сургутский государственный университет
г. Сургут
e-mail: val-gal@yandex.ru
Ссылка на статью: В.А. Галкин. О некоторых решениях уравнений Эйлера и Навье — Стокса для несжимаемой жидкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. C. 77-87
English
V.A. Galkin. On some solutions of the Euler and Navier–Stokes Equations for an incompressible fluid
The paper considers precisely solvable problems for the Euler and Navier–Stokes equations for the case of an incompressible fluid. The analysis of the causes of ill-posed problems in a set of harmonic functions is carried out. Exact solutions based on classical eigenvalue problems (linear and nonlinear) are given. The layered structure of the proposed hydrodynamic flows is distinguished in the case of stationary solutions of the Euler system and nonstationary solutions of the Navier–Stokes system in an infinite cylindrical domain.
Keywords: incompressible fluid equations, solutions of Euler equations, Navier–Stokes system
Received December 16, 2025
Revised January 22, 2026
Accepted January 26, 2026
Funding Agency: This work was supported by a state assignment from the Federal State Institution Research Center "Kurchatov Institute— NIISI — Fundamental scientific research project GP 47 on topic № 0580-2021-0007 “Development of methods for mathematical modeling of distributed systems and corresponding computational methods”.
Valerii Alekseevich Galkin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Surgut branch of the Federal State Institution Research Center “Kurchatov Institute” — NIISI, HMAO, Surgut, 628406, Russia, e-mail: val-gal@yandex.ru
Cite this article as: V.A. Galkin. On some solutions of the Euler and Navier–Stokes Equations for an incompressible fluid Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 77–87.
