УДК 517.54
MSC: 60B20, 94A13
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-88-104
В статье рассмотрена задача обнаружения полезного гармонического сигнала в шуме при малом отношении сигнал/шум. Предложен новый механизм обнаружения, основанный на построении стохастической матрицы по одному сигнальному окну. Исследованы и установлены свойства рассматриваемых предельных матриц и их предельных векторов, для которых сформулированы и доказаны соответствующие леммы и теоремы. Получены формулы, связывающие эти векторы с огибающей шума с известными параметрами.
Ключевые слова: обработка сигналов, многократный несобственный интеграл, преобразование Фурье, обнаружение сигналов в шуме, случайная стохастическая матрица
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dobrushin R., Pinsker M., Shiryaev A. Application of the notion of entropy in the problems of detecting a signal in noise // Lith. Math. J. 1963. Vol. 3, no. 1. P. 107–118. 10.15388/LMJ.1963.19410
2. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений. М.: МЦНМО: НМУ, 2020. 144 с.
3. Galyaev A.A., Berlin L.M., Lysenko P.V., Babikov V.G. Order statistics of the normalized spectral distribution for detecting weak signals in white noise // Autom. Remote Control. 2024. Vol. 85, no. 12. P. 1041–1055. https://doi.org/10.1134/S0005117924700401
4. Kishan G.M., Chilukuri K.M., HuaMing H. Anomaly detection principles and algorithms. Cham: Springer, 2017. https://doi.org/10.1007/978-3-319-67526-8
5. Johnson P., Moriarty J., Peskir G. Detecting changes in real-time data: a user’s guide to optimal detection // Philos. Trans. Royal Soc. A. 2017. Vol. 375 (2100): 20160298. https://doi.org/10.1098/rsta.2016.0298
6. Cohen L. Time-frequency analysis. N.J.: Prentice-Hall, 1995.
7. Rihaczek A. Signal energy distribution in time and frequency // IEEE Trans. Inf. Theory. 1968. Vol. 14, no. 3. P. 369–374. https://doi.org/10.1109/TIT.1968.1054157
8. Ronald L.A., Duncan W.M. Signal analysis: time, frequency, scale, and structure. N.J.: IEEE Press, 2004.
9. Lysenko P., Galyaev A., Berlin L., Babikov V. Information complexity of time-frequency distributions of signals in detection and classification problems // Entropy. 2025. Vol. 27, no. 10. https://doi.org/10.3390/e27100998
10. Lehner F., Mingo J.A., Speicher R. Free probability and random matrices // Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 2019. Vol. 121. P. 147–151. https://doi.org/10.1365/s13291-018-0191-z
11. Bishop A.N., Moral P.D., Angéle Niclas A. An introduction to Wishart matrix moments // Found. Trends Mach. Le. 2018. Vol. 11, no. 2. P. 97–218. https://doi.org/10.1561/2200000072
12. Zunino L., Soriano M.C., Rosso O.A. Distinguishing chaotic and stochastic dynamics from time series by using a multiscale symbolic approach // Phys. Rev. E. Stat. Nonlin. Soft. Matter Phys. 2012. Vol. 86, no. 4. P. 1–5. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.86.046210
13. Couillet R., Debbah M. Random matrix methods for wireless communications. NY: Cambridge University Press, 2011. https://doi.org/10.1017/CBO9780511994746
14. Климов С.А. Повышение вычислительной эффективности методов сверхрэлеевского разрешения сигналов // Журнал радиоэлектроники. 2012. № 3. С. 1–11.
15. Galyaev A.A., Babikov V.G., Lysenko P.V., Berlin L.M. A new spectral measure of complexity and its capabilities for detecting signals in noise // Dokl. Math. 2024. Vol. 110, no. 1. P. 361–368. https://doi.org/10.1134/S1064562424702235
16. Berlin L.M., Galyaev A.A., Lysenko P.V. Comparison of information criteria for detection of useful signals in noisy environments // Sensors. 2023. Vol. 23, no. 4, art. no. 2133. https://doi.org/10.3390/s23042133
17. Babikov V.G., Galyaev A.A. Analytical representation of complexity diagrams // Probl. Inf. Transm. 2025. Vol. 61, no. 1. P. 27–40. https://doi.org/10.1134/S003294602501003X
Поступила 8.10.2025
После доработки 18.12.2025
Принята к публикации 22.12.2025
Галяев Андрей Алексеевич
д-р техн. наук, главный науч. сотрудник
Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова
г. Москва
e-mail: galaev@ipu.ru
Берлин Леонид Михайлович
науч. сотрудник
Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова
г. Москва
e-mail: berlin.lm@phystech.edu
Лысенко Павел Владимирович
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова
г. Москва
e-mail: pavellysen@ipu.ru
Бабиков Владимир Георгиевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова
г. Москва
e-mail: babikov@ipu.ru
Потапов Антон Павлович
младший науч. сотрудник
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова
г. Москва
e-mail: potapov@ipu.ru
Ссылка на статью: А.А. Галяев, Л.М. Берлин, П.В..Лысенко, В.Г. Бабиков, А.П. Потапов. Свойства случайных стохастических матриц в задаче обнаружения при малом отношении сигнал/шум // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 88-104
English
A.A. Galyaev, L.M. Berlin, P.V. Lysenko, V.G. Babikov, A.P. Potapov. Properties of random stochastic matrices in the detection problem for a small signal-to-noise ratio
The article considers the problem of detecting a useful harmonic signal in noise for a small signal-to-noise ratio. A new detection mechanism based on the construction of a stochastic matrix based on a single signal window is proposed. The properties of the considered limit matrices and their limit vectors are investigated and established, for which the corresponding lemmas and theorems are formulated and proved. Formulas are obtained that relate these vectors to the noise envelope with known parameters.
Keywords: signal processing, multiple improper integrals, Fourier transform, signal detection in noise, random stochastic matrix
Received October 8, 2025
Revised December 18, 2025
Accepted December 22, 2025
Andrey Alexeevich Galyaev, Dr. Eng. Sci., Institute of Control Sciences of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, e-mail: galaev@ipu.ru
Leonid Mikhailovich Berlin, Institute of Control Sciences of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, e-mail: berlin.lm@phystech.edu
Pavel Vladimirovich Lysenko, Cand. Sci (Phys.-Math.), Institute of Control Sciences of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, e-mail: pavellysen@ipu.ru
Vladimir Georgievich Babikov, Cand. Sci (Phys.-Math.), Institute of Control Sciences of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, e-mail: babikov@ipu.ru
Anton Pavlovich Potapov, Institute of Control Sciences of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, e-mail: potapov@ipu.ru
Cite this article as: A.A. Galyaev, L.M. Berlin, P.V. Lysenko, V.G. Babikov, A.P. Potapov. Properties of random stochastic matrices in the detection problem for a small signal-to-noise ratio. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 88–104.
