УДК 517.977, 514.177.2
MSC: 52A10, 11H16, 41A50
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-264-280
Исследование первого автора выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 25-11-00269, https://rscf.ru/project/25-11-00269/.
Для класса замкнутых невыпуклых множеств двумерного евклидова пространства предложен подход к нахождению величины чебышёвского слоя, который базируется на двух известных понятиях, обобщающих определение выпуклого множества. Рассмотрено семейство плоских множеств с конечным числом псевдовершин. Для анализа выделены отличающиеся друг от друга порядком гладкости три совокупности псевдовершин. В рамках каждого из трех рассмотренных случаев (случай кусочно-гладкой границы множества, случай разрыва кривизны границы множества и классический случай, когда кривизна границы непрерывна) найдена формула предельного значения радиусов опорных по Ефимову – Стечкину шаров. Речь идет о шарах с центрами, которые лежат на ветви биссектрисы (на одномерном многообразии множества неединственности), отвечающей соответствующей псевдовершине. Полученные формулы позволяют аналитически вычислять величину чебышёвского слоя для невыпуклых множеств, в том числе для множеств с границей переменной гладкости. Приведен иллюстрирующий пример и его интерпретация с точки зрения теории оптимального управления.
Ключевые слова: альфа-множество, оболочка множества, метрическая проекция, мера невыпуклости, биссектриса множества, опорный шар, чебышёвский слой, управление.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26, № 1. С. 95–120. https://doi.org/10.20537/vm160109
2. Ефимов Н. В., Стечкин С.Б. Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышевские множества // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127, № 2. С. 254–257.
3. Иванов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. М.: Физматлит, 2006. 352 с.
4. Власов Л.П. Чебышевские множества и некоторые их обобщения // Мат. заметки. 1968. T. 3, № 1.
С. 59–69. https://doi.org/10.1007/BF01386963
5. Балашов М.В. Условие Липшица метрической проекции в гильбертовом пространстве // Фундамент. и прикл. математика. 2018. Т. 22, № 1. С. 13–29. https://doi.org/10.1007/s10958-020-05022-6
6. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71, № 1. С. 3–84. https://doi.org/10.1070/RM9698
7. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышевских множеств // Докл. АН СССР. 1958. T. 118, № 1. С. 17–19.
8. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 2018. Т. 28, № 1. С. 59–73. https://doi.org/10.20537/vm180106
9. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Численно-аналитическое построение обобщенного решения уравнения эйконала в плоском случае // Мат. сб. 2024. T. 215, № 9. С. 99–124. https://doi.org/10.4213/sm9500
10. Ушаков В.Н., Ершов А.А., Матвийчук А.Р. Об оценке степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем // Тр. МИАН. 2021. Т. 315. С. 261–270. https://doi.org/10.4213/tm4219
11. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия // Прикл. математика и информатика: Тр. фак. ВМиК МГУ М. В. Ломоносова. М.: МАКС Пресс, 2007. № 27. С. 65–79.
12. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. 208с. https://doi.org/CBO9781107325418
13. Успенский А.А. Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 276–290.
14. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Условия трансверсальности ветвей решения нелинейного уравнения в задаче быстродействия с круговой индикатрисой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 4. С. 82–100.
15. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение сингулярных кривых для обобщенных решений уравнений типа эйконала в условиях разрыва кривизны границы краевого множества // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. C. 282–293. https://doi.org/10.1134/S0081543817050212
16. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.
17. Lee R. Nackman, Vijay Srinivasan. Bisectors of linearly separable sets // Discret. Comput. Geom. 1991. Vol. 6. P. 263–275. https://doi.org/10.1007/BF02574688
18. Imai K., Kawamura A., Matoušek J., Reem, D., Tokuyama T. Distance k-sectors exist // Comput. Geometry. 2010. Vol. 43 (9). P 713–720. https://doi.org/10.1016/j.comgeo.2010.05.001
19. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей / пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда. М.: Мир, 1988. 262 с.
20. Местецкий Л.М. Непрерывная морфология бинарных изображений: фигуры, скелеты, циркуляры. М.: Физматлит, 2009. 288 с.
21. Florent Nacry, Mircea Sofonea. History-dependent operators and prox-regular sweeping processes // Fixed Point Theory and Algorithms for Sciences and Engineering. 2022. Vol. 1. Art. no. 5. https://doi.org/10.1186/s13663-022-00715-w
22. Толстоногов А.А. Существование и релаксация решений дифференциальных включений с максимально монотонными операторами и возмущениями // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Т. 514, № 1. C. 65–68.
https://doi.org/10.1134/10.31857/S268695432360012X
23. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Альфа-множества и их оболочки: аналитические взаимосвязи в плоском случае // Вестн. российских унив. Математика. 2024. Т. 29, № 146. С. 204–217.
https://doi.org/10.20310/2686-9667-2024-29-146-204-217
24. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996. 334 с.
25. Карлов М.И. Чебышевский слой многообразий в гильбертовом пространстве // Тр. МИАН. 1997. Т. 219. С. 235–248.
26. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи мат. наук. 1973. T. 28, №. 6. С. 3–66. https://doi.org/10.1007/BF01386963
Поступила 4.06.2025
После доработки 9.07.2025
Принята к публикации 14.07.2025
Успенский Александр Александрович
д-р физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: uspen@imm.uran.ru
Лебедев Павел Дмитриевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: pleb@yandex.ru
Ссылка на статью: А.А. Успенский, П.Д. Лебедев. Нахождение величины чебышёвского слоя плоского множества с помощью конструкций теории альфа-множеств и опорных шаров Ефимова – Стечкина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 264–280.
English
A.A. Uspenskii, P.D. Lebedev. Finding the value of the Chebyshev layer of a flat set using constructions of the theory of alpha sets and Efimov–Stechkin support balls
For a class of closed nonconvex sets in two-dimensional Euclidean space, an approach to finding the value of the Chebyshev layer is proposed. It is based on two well-known concepts that generalize the definition of a convex set. A family of planar sets with a finite number of pseudo-vertices is considered. Three sets of pseudo-vertices are selected for analysis. The sets differ from each other in the order of smoothness of the pseudo-vertices included in them. Within the framework of each of the three cases considered (the case of a piecewise smooth boundary of a set, the case of a discontinuity in the curvature of the boundary of a set, and the classical case when the curvature of the boundary is continuous), a formula for the limit value of the radii of the support balls (by Efimov and Stechkin) is found. We consider balls with centers lying on a branch of the bisector (on a one-dimensional manifold of the set of non-uniqueness) corresponding to the associated pseudo-vertex. The obtained formulas allow one to analytically calculate the value of the Chebyshev layer for nonconvex sets, including sets with a boundary of variable smoothness. An illustrative example and its interpretation from the point of view of optimal control theory are given.
Keywords: alpha set, set hull, metric projection, nonconvexity measure, set bisector, support ball, Chebyshev layer, control.
Received June 4, 2025
Revised July 9, 2025
Accepted July 14, 2025
Funding Agency: The study of the first author was supported by the Russian Science Foundation (project no. 25-11-00269, https://rscf.ru/project/25-11-00269/).
Aleksandr Aleksandrovich Uspenskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: uspen@imm.uran.ru
Pavel Dmitrievich Lebedev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: pleb@yandex.ru
Cite this article as: A.A. Uspenskii, P.D. Lebedev. Finding the value of the Chebyshev layer of a flat set using constructions of the theory of alpha sets and Efimov–Stechkin support balls. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 264–280.
[References -> on the "English" button bottom right]
