УДК 517.518.153
MSC: 26A15, 25A16
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-250-263
Модуль непрерывности $\varphi(t)$ будем называть нелипщицевым, если ${\varphi(t)}/{t}\to+\infty$ при $t\to+0$. Не оговаривая этого каждый раз специально, будем считать, что каждый модуль непрерывности является нелипшицевым, сторого возрастающим и выпуклым вверх. Хаусдорфову $\varphi$-меру множества $e$ будем обозначать как $H_{\varphi}(e)$.
$1^{\circ}$. Для произвольного модуля непрерывности $\varphi(t)$ построено множество $C_{\varphi}$ канторовского типа, хаусдорфова $\varphi$-мера которого положительна и конечна. Показано, что построенная по $C_{\varphi}$ канторова лестница $C_{\varphi}(x)$ принадлежит классу Никольского – Гёльдера $H^{\varphi}$.
$2^{\circ}$. Доказано, что если модуль непрерывности функции $f(x)$ удовлетворяет неравенству $\omega_f(t)\le L\varphi(t)$, функция $f(x)$ дифференцируема почти всюду на $[a;b]\setminus e$, где множество $e$ замкнуто, $H_{\varphi}(e)<+\infty$ и $f'(x)$ интегрируема на $[a;b]$, то выполнена оценка
\begin{equation*}
\biggl|\int\limits_a^b f'(x)\,dx-f(x)\Bigm|_a^b\biggr|\le L H_{\varphi}(e).
\end{equation*}
Пример множества $C_{\varphi}$ и функции $C_{\varphi}(x)$ показывает, что эта оценка точна по порядку.
$3^{\circ}$. Пусть модули непрерывности $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ удовлетворяют оценке $\psi(t)=o\bigl(\varphi(t)\bigr)$ при $t\to+0$. Тогда, если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ и для каждой точки $\xi$ замкнутого множества $e\subset[a;b]$ при некотором $c_\xi>0$ во всех точках $x$, достаточно близких к $\xi$, выполнено неравенство
\begin{equation*}
|f(x)-f(\xi)|\ge c_\xi\varphi(|x-\xi|),
\end{equation*}
то $H_{\psi}(e)=0$.
Ключевые слова: модуль непрерывности, класс Никольского – Гёльдера, канторово множество, канторова лестница, формула Ньютона – Лейбница, исключительное множество.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ефимов А.В. Линейные методы приближения непрерывных периодических функций // Мат. сб. 1961. Т. 54, № 1. С. 51–90.
2. Герега А.Н. Конструктивные фракталы в теории множеств. Одесса: Изд-во “Освита Украины”, 2017. 83 p.
3. Долженко Е.П. О “стирании” особенностей аналитических функций // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, № 4 (112). С. 135–142.
4. Рубинштейн А.И. Об $\omega$-лакунарных рядах и о функциях классов $H^\omega$ // Мат. сб. 1964. Т. 65, № 2. С. 239–271.
5. Hille E., Tamarkin J.D. Remarks on a known example of a monotone continuous function // Amer. Math. Monthly. 1929. Vol. 36, no. 5. P. 255–264. https://doi.org/10.1080/00029890.1929.11986950
6. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949. 496 с.
Поступила 7.04.2025
После доработки 4.07.2025
Принята к публикации 7.07.2025
Теляковский Дмитрий Сергеевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ
г. Москва
ORCID: 0000-0003-1579-2154
e-mail: dtelyakov@mail.ru
Ссылка на статью: Д.С. Теляковский. Об исключительных множествах в формуле Ньютона – Лейбница // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 250–263.
English
D. S. Telýakovskii. On exceptional sets in the Newton–Leibniz formula
Modulus of continuity $\varphi(t)$ will be called non-lipschitz, if ${\varphi(t)}/{t}\to+\infty$ as $t\to+0$. Without mentioning it every time, it will be assumed that every modulus of continuity is non-lipschitz, strictly increasing, and concave up. Hausdorff $\varphi$-measure of set $e$ will be denoted as $H_{\varphi}(e)$.
$1^{\circ}$. For an arbitrary modulus of continuity $\varphi(t)$ we costruct set $C_{\varphi}$ of Cantor type, whose Hausdorff $\varphi$-measure is positive and finite. We will show that Cantor function $C_{\varphi}(x)$ constructed on set $C_{\varphi}$ belongs to Nikol'skii—Hölder class $H^{\varphi}$.
$2^{\circ}$. We prove that if modulus of continuity of function$f(x)$ satisfies the inequality $\omega_f(t)\le L\varphi(t)$, function $f(x)$ is differentiable almost everywhere on $[a;b]\setminus e$, where set $e$ is closed, $H_{\varphi}(e)<+\infty$, plus, $f'(x)$ is integrable on $[a;b]$, then we have an estimate
\begin{equation*}
\biggl|\int\limits_a^b f'(x)\,dx-f(x)\Bigm|_a^b\biggr|\le L H_{\varphi}(e).
\end{equation*}
We provide an example of set $C_{\varphi}$ and function $C_{\varphi}(x)$ that illustrates that this estimate is exact.
$3^{\circ}$. Let $\varphi(t)$ and $\psi(t)$ be moduli of continuity that satisfy the estimate $\psi(t)=o\bigl(\varphi(t)\bigr)$ as $t\to+0$. If a function $f(x)\in C[a;b]$ and for each point $\xi$ of closed set $e\subset[a;b]$ for all points $x$, sufficiently close to $\xi$, there exists $c_\xi>0$, so that the following inequality holds:
\begin{equation*}
|f(x)-f(\xi)|\ge c_\xi\varphi(|x-\xi|),
\end{equation*}
then $H_{\psi}(e)=0$.
Keywords: modulus of continuity, Nikol'skii–Hölder class, Cantor set, Cantor function, Newton–Leibniz formula, exceptional set.
Received April 7, 2025
Revised July 4, 2025
Accepted July 7, 2025
Dmitrii Sergeevich Telýakovskii, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Prof., National Research Nuclear University MEPhI, Moscow, 115409 Russia, ORCID 0000-0003-1579-2154, e-mail:dtelyakov@mail.ru
Cite this article as: D.S. Telýakovskii. On exceptional sets in the Newton–Leibniz formula. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 250–263.
[References -> on the "English" button bottom right]
