УДК 514.85+531.36
MSC: 53B50, 70G60, 74H35, 65P99
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-38-54
Рассматривается движение механической системы вблизи геометрической особенности конфигурационного пространства типа двух пересекающихся прямых на плоскости. Данный тип особенностей возникает в механических системах с голономными связями, когда число связей на 1 меньше числа обобщенных координат. Предполагается, что голономные связи становятся зависимыми в одной изолированной точке, где ранг связей уменьшается на 1. Исследуется влияние обобщенной силы, которая ортогональная возможным перемещениям, на движение голономной системы вблизи особенности конфигурационного пространства. Доказано, что для невырожденной особенности множители Лагранжа становятся неограниченными при движении траектории к особой точке при действии “ортогональной” силы. Поэтому модель голономной динамики необходимо уточнить вблизи особых точек. Для разрешения неопределенности в данной работе применяется метод, в котором голономные связи реализуются как упругий потенциал с большим параметром жесткости. Рассматривается модельная задача о движении материальной точки по объединению координатных осей на плоскости. При численном интегрировании получается, что траектории системы с жестким потенциалом могут отличаться от траекторий системы с голономными связями. Для голономной системы получается равномерное прямолинейное движение вдоль одной оси. Траектории системы с жестким потенциалом могут периодически удаляться и возвращаться в окрестность особой точки, переходить на движение вблизи другой оси или конечное время двигаться в малой окрестности особой точки.
Ключевые слова: голономные связи, особая точка, многообразия с особенностями, множители Лагранжа, реализация голономных связей
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П., Товстик П.Е., Солтаханов Ш.Х., Филиппов С.Б., Петрова В.И. Теоретическая и прикладная механика: в 2 т. Том I: Общие вопросы теоретической механики. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 2022. 560 с.
2. Yang L., Xue S., Yao W. A regularization method for solving the redundant problems in multibody dynamic system // J. Phys.: Conf. Ser. IOP Publishing, 2020. Vol. 1634, art. no. 012100.
https://doi.org/10.1088/1742-6596/1634/1/012100
3. Mukharlyamov R.G., Deressa C.T. Dynamic equations of controlled mechanical system with redundant holonomic constraints // Vestnik Kazan. Tekhnol. Univ. 2014. Vol. 17, no. 11. P. 236–242.
4. Zlatanov D., Bonev I.A., Gosselin C.M. Constraint singularities as C-space singularities // Advances in Robot Kinematics. Dordrecht: Springer, 2002. P. 183–192. https://doi.org/10.1007/978-94-017-0657-5_20
5. Самсонов В.А., Михалев А.А. Перестройка пространства положений механической системы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. № 4. C. 13–16.
6. Закалюкин И.В. Особенности вырождения неголономных связей и управляемость // Труды МАИ. 2010. № 39. С. 1–18.
7. Rubin H., Ungar P. Motion under a strong constraining force // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1957. Vol. 10. P. 65-87. https://doi.org/10.1002/CPA.3160100103
8. Козлов В.В., Нейштадт А.И. О реализации голономных связей // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54, № 5. С. 858–861.
9. Бурьян С.Н. Силы реакции сингулярного маятника // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9(67), № 2. С. 278–293. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.209
10. Бурьян С.Н. Сильные связи в динамике систем с геометрическими особенностями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 53–67.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2024-30-3-53-67
11. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. Москва: Физматлит, 2001. 320 с.
12. Бурьян С.Н. Силы реакции и силы трения в динамике систем с геометрическими особенностями // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11(69), № 4. С. 755–771. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.411
13. Takens F. Motion under influence of a strong constraining force // Global theory of Dynamics Systems. Berlin: Springer-Verlag, 1980. P. 425–445. (Lecture Notes in Math.; vol 819). https://doi.org/10.1007/BFb0087006
14. Hairer E., Wanner G., Norsett S.P. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin: Springer, 1993. 528 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-78862-1
15. Petzold L. Automatic selection of methods for solving stiff and nonstiff systems of ordinary differential equations // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1983. Vol. 4, no. 1. P. 136–148. https://doi.org/10.1137/0904010
Поступила 1.03.2025
После доработки 21.04.2025
Принята к публикации 28.04.2025
Бурьян Сергей Николаевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Государственный научно-исследовательский институт прикладных проблем
г. Санкт-Петербург
e-mail: burianserg@yandex.ru
Ссылка на статью: С.Н. Бурьян. Движение модельной системы вблизи пересекающихся кривых // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. C. 38-54
English
S.N. Burian. Motion of a model system near intersecting curves
The paper considers the motion of a mechanical system near a geometric singularity of the configuration space such as two intersecting lines on a plane. This type of singularity arises in mechanical systems with holonomic constraints when the number of constraints is 1 less than the number of generalized coordinates. It is assumed that holonomic constraints become dependent at one isolated point, where the rank of constraints decreases by 1. The influence of a generalized force orthogonal to possible displacements on the motion of a holonomic system near a singularity of the configuration space is investigated. It is proven that, for a non-degenerate singularity, the Lagrange multipliers become unbounded when the trajectory moves toward a singular point under the action of an ``orthogonal'' force. Therefore, the model of holonomic dynamics must be refined near singular points. To resolve the uncertainty, this paper uses a method in which holonomic constraints are realized as an elastic potential with a large stiffness parameter. A model problem of the motion of a material point along the union of coordinate axes on a plane is considered. Through numerical integration, it has been determined that the trajectories of a system with a rigid potential can differ from the trajectory of a system with holonomic constraints. For a holonomic system, uniform rectilinear motion along one axis is obtained. The trajectories of a system with a rigid potential can periodically move away and return to the neighborhood of a singular point, switch to motion near another axis, or move for a finite time in a small neighborhood of a singular point.
Keywords: holonomic constraints, singular point, manifolds with singularities, Lagrange multipliers, realization of holonomic constraints
Received March 1, 2025
Revised April 21, 2025
Accepted April 28, 2025
Sergey Nikolaevich Burian, Cand. Sci (Phys.-Math.), State Research Institute of Applied Problems, St. Petersburg, 191167 Russia, e-mail: burianserg@yandex.ru
Cite this article as: S.N. Burian. Motion of a model system near intersecting curves. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 38–54.
