УДК 517.275
MSC: 26B10
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-30-37
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект 24-21-00012,
https://rscf.ru/project/24-21-00012/ .
Рассматривается уравнение вида $F(x)+\Phi(x)=y,$ в котором $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ — это заданное нелинейное гладкое отображение, $x$ — неизвестное, $\Phi$ — непрерывное отображение, $y$ — вектор. В терминах $\lambda$-укорочений получены условия, при которых рассматриваемое уравнение имеет близкое к заданной точке $\bar x$ решение $x(y,\Phi).$ При этом возмущение $\Phi$ близко к нулю в заданной окрестности точки $\bar x$ в равномерной метрике, а возмущение $y$ близко к точке $F(\bar x).$ Получены априорные оценки решения $x(y,\Phi).$
Ключевые слова: устойчивость отображения в точке, обратная функция, $\lambda$-укорочение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А.В. Существование вещественных решений нелинейных уравнений без априорных предположений нормальности // Мат. заметки. 2021. Т. 109, № 1. С. 3–18. https://doi.org/10.4213/mzm12735
2. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. О разрешимости нелинейных вырожденных уравнений и оценках обратных функций // Мат. сб. 2025. Т. 216, № 1. С. 3–29. https://doi.org/10.4213/sm10060
3. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Устойчивость вещественных решений нелинейных уравнений и ее приложения // Труды МИАН. 2023. Т. 323. С. 5–16. https://doi.org/10.4213/tm4353
4. Козлов В.В. О вещественных решениях систем уравнений // Функциональный анализ и его приложения. 2017. Т. 51, № 4. С. 79–83. https://doi.org/10.4213/faa3488
5. Чеботарев Н.Г. Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики: cб. статей к трехсотлетию И. Ньютона, 1943 (см. также собр. соч. Н. Г. Чеботарева, Изд-во АН СССР, Т. 3 (1950), 47–80).
6. Bartle R.G., Graves L.M. Mappings between function spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72, no. 3. P. 400–413. https://doi.org/10.2307/1990709
7. Dontchev A.L., Rockafellar R.T. Implicit functions and solution mappings. NY: Springer, 2009. 376 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-87821-8
8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Applications of λ-truncations to the study of local and global solvability of nonlinear equations // Eurasian Math. J. 2024. Vol. 15, no. 1. P. 23–33. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2024-15-1-23-33
9. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Об одном классе регулярных λ-укорочений и его приложении к обратным функциям // Мат. заметки. 2025. Vol. 117, no. 5. P. 637–652.
Поступила 20.04.2025
После доработки 14.05.2025
Принята к публикации 19.05.2025
Арутюнов Арам Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва
e-mail: arutyunov@cs.msu.ru
Жуковский Сергей Евгеньевич
д-р физ.-мат. наук
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва
e-mail: s-e-zhuk@yandex.ru
Ссылка на статью: А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский. Об устойчивости гладких нелинейных отображений в точке // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. C. 30–37
English
Aram V. Arutyunov, Sergey E. Zhukovskiy. On stability of smooth nonlinear mappings at a given point
We consider the equation $F(x)+\Phi(x)=y.$ Here $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is a nonlinear smooth mapping, $x$ is unknown, $\Phi$ is a continuous mapping, $y$ is a vector. Using $\lambda$-truncations we obtain conditions for the equation to have a solution $x(y,\Phi)$ close to the given point $\bar x$. The perturbation $\Phi$ is assumed to be sufficiently small around $\bar x$ in the uniform convergence metric, and the perturbation $y$ is assumed to be close to $F(\bar x)$. We derive a priori estimates of the solution $x(y,\Phi).$
Keywords: stability of a mapping at a point, inverse function, $\lambda$-truncation
Received April 20, 2025
Revised May 14, 2025
Accepted May 19, 2025
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project 24-21-00012,
https://rscf.ru/project/24-21-00012/.
Aram V. Arutyunov, Dr. Phys.-Math. Sci., V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, е-mail: arutyunov@cs.msu.ru
Sergey E. Zhukovskiy, Dr. Phys.-Math. Sci., V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia, e-mail: s-e-zhuk@yandex.ru
Cite this article as: Aram V.Arutyunov, Sergey E.Zhukovskiy. On stability of smooth nonlinear mappings at a given point. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 30–37.
