УДК 514.172
MSC: 52A05, 52A99
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-fon-04
Работа выполнена при поддержке Государственной программы научных исследований Республики Беларусь.
Чаще всего геометрическая строение выпуклых множеств связывается с их граневой структурой. В первом разделе настоящей статьи представлен несколько иной подход к характеристике геометрической структуры выпуклых множеств, основанный на понятии открытой компоненты выпуклого множества. Исследование проводится в бесконечномерных вещественных пространствах без топологии. Для того чтобы определить понятие открытой компоненты, на выпуклом множестве $Q$ вводится отношение предпорядка $\unlhd_Q$ (свое для каждого множества $Q$), названное отношением доминирования. Открытыми компонентами выпуклого множества $Q$ называются классы эквивалентности фактор-множества $Q/\mathbin{<\!>}_Q$ множества $Q$ по отношению эквивалентности $\mathbin{<\!>}_Q$, которое является симметричной частью отношения доминирования $\unlhd_Q$. Каждая открытая компонента выпуклого множества $Q$ является относительно алгебраически открытым подмножеством данного множества $Q$, при этом множество $Q$ является дизъюнктным объединением всех принадлежащих ему открытых компонент множества $Q$. Отношение доминирования $\unlhd_Q$ индуцирует на семействе ${\mathcal O}(Q):= Q/\mathbin{<\!>}_Q$ всех открытых компонент множества $Q$ отношение частичного порядка $\unlhd_Q^*$, относительно которого частично упорядоченное семейство $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$ является верхней полурешеткой. Для полупространств (выпуклых множеств $H$, дополнения которых также выпуклы) соответствующая им верхняя полурешетка $({\mathcal O}(H),\unlhd_H^*)$ является линейно упорядоченным множеством. Внутренняя структура выпуклого множества $Q$ отождествляется в работе со структурой верхней полурешетки $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$. Во втором разделе статьи исследуется связь между внутренней структурой выпуклого множества и внутренней структурой его граней. Устанавливается, что каждая открытая компонента выпуклого множества $Q$ является относительной алгебраической внутренностью минимальной (по включению) грани множества $Q$, содержащей данную открытую компоненту. Обратно, если грань $F$ выпуклого множества $Q$ имеет непустую относительную алгебраическую внутренность, то она (относительная алгебраическая внутренность грани) совпадает с некоторой открытой компонентой множества $Q$, а сама грань $F$ является минимальной гранью, содержащей эту открытую компоненту (такие грани названы в работе минимальными). В конечномерных векторных пространствах любая грань $F$ выпуклого множества $Q$ является минимальной гранью, в тоже время в любом бесконечномерном векторном пространстве существуют выпуклые множества, не все грани которых являются минимальными. Вместе с тем, каждая открытая компонента любой грани $F$ выпуклого множества $Q$ является открытой компонентой самого множества $Q$, т. е. ${\mathcal O}(F) \subset {\mathcal O}(Q)$, и, кроме того, отношение частичного порядка $\unlhd_F^*$, определенное на ${\mathcal O}(F)$, совпадает с сужением на ${\mathcal O}(F)$ отношения частичного порядка $\unlhd_Q^*$, заданного на ${\mathcal O}(Q)$. Таким образом, внутренняя структура $({\mathcal O}(F),\unlhd_F^*)$ любой грани $F$ выпуклого множества $Q$ является подструктурой внутренней структуры $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$ самого множества $Q$.
Ключевые слова: выпуклые множества, полупространства, грань, открытая компонента, полурешетка, предпорядок, линейный порядок
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lassak M. Convex half-spaces // Fund. Math. 1984. Vol. 120, no. 1. P. 7–13.
https://doi.org/10.4064/fm-120-1-7-13
2. Гороховик В.В., Семенкова Е.А. Классификация полупространств по типам в бесконечномерных векторных пространствах // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 2. С. 191–198. https://doi.org/10.4213/mzm1385
3. Gorokhovik V.V., Shinkevich E.A. Geometric structure and classification of infinite-dimensional halfspaces // Banach Center Publ. Vol. 53. (Algebraic Analysis and Related Topics: Proc. Conf. / ed. Przeworska–Rolewich D.) Warsaw: PWN-Polish Sci. Publ., 2000. P. 121–138. https://www.researchgate.net/publication/388932409
4. Гороховик В.В. Ступенчато-аффинные функции, полупространства и отделимость выпуклых множеств с приложениями к выпуклым задачам оптимизации // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. С. 51–70. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-1-51-70
5. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.
6. Bronsted A. An introduction to convex polytopes. NY: Springer-Verlag, 1983. 160 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1148-8
7. Diaz Millan R., Roshchina V. The intrinsic core and minimal faces of convex sets in general vector spaces // Set-Valued and Variational Analysis. 2023. Art. no. 14. 27 p. https://doi.org/10.1007/s11228-023-00671-6
8. Garcia-Pacheco F.J. A solution to the faceless problem // J. Geom. Anal. 2020. Vol. 30, no. 4. P. 3859–3871. https://doi.org/10.1007/s12220-019-00220-4
9. Биркгоф Г. Теория структур. М.: ИЛ, 1952. 407 c.
10. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1979. 148 c.
11. Klee V. Convex sets in linear spaces // Duke Math. J. 1951. Vol. 18, no. 2. P. 443–466. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-51-01835-2
12. Райков Д.А. Векторные пространства. М.: Физматгиз, 1962. 212 с.
13. Aliprantis C.D., Border K.C. Infinite-dimensional analysis. A hitchhiker’s guide. 3ed. Berlin: Springer-Verlag, 2006. 725 p. https://doi.org/10.1007/3-540-29587-9
14. Holmes R. Geometric functional analysis and its applications. NY; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 1975. 253 p. ISBN 0-387-90136-1 .
15. Khazayel B., Farajzadeh A.P., Günther C., Tammer Ch. On the intrinsic core of convex cones in real vector spaces // SIAM J. Optim. 2021. Vol. 31, no. 2. P. 1276–1298. https://doi.org/10.1137/19M1283148
16. Klee V. The structure of semispaces // Math. Scand. 1956. Vol. 4. P. 54–64. https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10455
17. Рубинштейн Г.Ш. Двойственность в математическом программировании // Успехи мат. наук. 1970. Т. 25, № 5. С. 171–201.
18. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. 568 c.
19. Rosenstein J.G. Linear orderings. NY: Acad. Press, 1982. 484 p. ISBN 0080874142 .
Поступила 14.02.2025
После доработки 18.03.2025
Принята к публикации 24.03.2025
Опубликована онлайн 31.03.2025 (Online First 2025)
Гороховик Валентин Викентьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
чл.-корр. НАН Беларуси
главный науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси
г. Минск
e-mail: gorokh@im.bas-net.by
Ссылка на статью: В.В. Гороховик. Внутренняя структура выпуклых множеств и их граней // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2025. Т. 31, № 2. С. 55-68
V.V. Gorokhovik. Internal structure of convex sets and their faces
Most often, the geometric structure of convex sets is associated with their facial structure. In the first section of this paper, we present a somewhat different approach to characterizing the geometric structure of convex sets based on the concept of an open component of a convex set. In this paper, we consider convex sets in infinite-dimensional real vector spaces endowed with no topology. To define the notion of an open component of a convex set $Q$, the preorder relation $\unlhd_Q$ is introduced on $Q$ (its own for each set $Q$) called a dominance relation. Open components of a convex set $Q$ are defined as equivalence classes of the quotient set $Q/\mathbin{<\!>}_Q$ of the set $Q$ by the equivalence relation $\mathbin{<\!>}_Q$, which is the symmetric part of the dominance relation $\unlhd_Q$. Each open component of a convex set $Q$ is a relatively algebraic open subset of the set $Q$ under consideration, and the set $Q$ is a disjoint union of all open components belonging to $Q$. The dominance relation $\unlhd_Q$ induces a partial order relation $\unlhd_Q^*$ on the family ${\mathcal O}(Q):= Q/\mathbin{<\!>}_Q$ of all open components of the set $Q$ with respect to which the partially ordered family $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$ is an upper semilattice. For halfspaces (convex sets $H$ whose complements are also convex), the corresponding upper semilattice $({\mathcal O}(H),\unlhd_H^*)$ is a linearly ordered set. The internal structure of a convex set $Q$ is identified in the paper with the structure of the upper semilattice $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$. In the second section of the paper, the connection between the internal structure of a convex set and that of its faces is investigated. It is established that each open component of a convex set $Q$ is a relative algebraic interior of the minimal (with respect to inclusion) face of $Q$ containing the given open component. Conversely, if a face $F$ of a convex set $Q$ has a nonempty relative algebraic interior, then it (the relative algebraic interior of the face) coincides with some open component of the set $Q$, and the face $F$ itself is a minimal face containing this open component (such faces are called minimal in the paper). In finite-dimensional vector spaces, any face $F$ of a convex set $Q$ is minimal, whereas in any infinite-dimensional vector space, there exist convex sets whose faces are not all minimal. Concurrently, each open component of any face $F$ of a convex set $Q$ is an open component of $Q$ itself; i.e., ${\mathcal O}(F) \subset {\mathcal O}(Q)$. Moreover, the partial order relation $\unlhd_F^*$ defined on ${\mathcal O}(F)$ coincides with the restriction to ${\mathcal O}(F)$ of the partial order relation $\unlhd_Q^*$ defined on ${\mathcal O}(Q)$. Thus, the internal structure $({\mathcal O}(F),\unlhd_F^*)$ of any face $F$ of a convex set $Q$ is a substructure of the internal structure $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$ of $Q$ itself.
Keywords: convex sets, halfspaces, faces, open component, semilattice, preorder, linear order
Received February 14, 2025
Revised March 18, 2025
Accepted March 24, 2025
Published online March 31, 2025 (Online First 2025)
Funding Agency: This work was supported by the National Program for Scientific Research of the Republic of Belarus.
Valentin Vikentievich Gorokhovik, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of NAS of Belarus, Prof., Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: gorokh@im.bas-net.by
Cite this artile as: V.V. Gorokhovik. Internal structure of convex sets and their faces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 53–68.
