УДК 517.977
MSC: 49N45, 93B52
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-fon-01
Рассматривается задача отслеживания неизвестного входного воздействия $u(⋅)$ системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее суть заключается в построении алгоритма вычисления некоторой функции, приближающей в среднем квадратичном $u(⋅)$. Предлагаемый алгоритм должен осуществлять процесс слежения в реальном времени, т. е. вычислять приближение входного воздействия, реализовавшегося к моменту времени $t$, не позже этого момента. Входными данными алгоритма являются результаты неточного измерения фазовых состояний системы в дискретные моменты времени. Следствием данной особенности задачи является невозможность точного отслеживания $u(⋅)$. Поэтому мы конструируем алгоритм приближенного отслеживания, ядром которого является управляемая модель. Управление в этой модели, полученное по принципу обратной связи с учетом текущих фазовых состояний, формируется на основе соответствующей модификации динамического варианта известного в теории некорректных задач метода невязки.
Ключевые слова: динамический метод невязки, отслеживание входного воздействия
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.
2. Boulite S., Idrissi A., Ould Maaloum A. Robust multivariable PI-controllers for linear systems in Banach state spaces // J. Math. Anal. Appl. 2009. Vol. 349, no. 1. P. 90–99. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.08.039
3. Chen W.H., Yang J., Guo L., Li H. Disturbance-observer-based control and related methods: an overview // IEEE Trans. Ind. Electron. 2015. Vol. 63, no. 2. P. 1083–1095. https://doi.org/10.1109/TIE.2015.2478397
4. Guo B., Wu Z., Zhou H. Active disturbance rejection control approach to output-feedback stabilization of a class of uncertain nonlinear systems subject to stochastic disturbance // IEEE Trans. Autom. Control. 2019. Vol. 61, no. 6. P. 1613–1618. https://doi.org/10.1109/TAC.2015.2471815
5. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
6. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.
7. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.
8. Kurzhanski A., Valui I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhäuser, 1996. 284 p.
9. Ананьев Б.И., Гусев М.И., Филиппова Т.Ф. Управление и оценивание состояний динамических систем с неопределенностью. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2018. 193 с.
10. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.
11. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В, Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2011. 292 с.
12. Maksimov V.I. The methods of dynamical reconstruction of an input in a system of ordinary differential equations// J. Inverse Ill-Posed Probl. 2021. Vol. 29, no. 1. P. 125–156. https://doi.org/10.1515/jiip-2020-0040
13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
14. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. О методах позиционного моделирования управления в динамических системах. В кн.: Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемых систем . Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1988. С. 34–44.
15. Близорукова М.С. О моделировании входа в системе с запаздыванием // Прикладная математика и информатика. 2000. № 5. С. 105–115.
16. Близорукова М.С., Максимов В.И. Динамический метод невязки в задаче реконструкции входа системы с запаздыванием в управлении // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2021. Т. 61, № 3. С. 382–390. https://doi.org/10.31857/S0044466921030042
17. Сурков П.Г. Применение метода невязки в задаче восстановления правой части для системы дробного порядка // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2019. Т. 59, № 11. С. 1846–1855. https://doi.org/10.1134/S0044466919110127
18. Maksimov V.I. Some dynamical inverse problems for hyperbolic systems // Control and Cybernetics. 1996. Vol. 25, № 3. P. 464–482.
19. Максимов В.И. Позиционное моделирование управлений и начальных функций для систем Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. C. 618–629.
20. Максимов В.И. Динамический метод невязки в задаче реконструкции входа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 2. С. 295–306.
21. Васильева Е.В. Динамический метод невязки для дифференциального уравнения с памятью // Проблемы мат. физики: сб. Тр. факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова / М.: Диалог-МГУ, 1998. C. 68–74.
22. Мартьянов А.С. Динамический метод невязки в задаче реконструкции входов при неполной информации // Журн. вычисл. математики и мат. физики.. 2005. Т. 45, № 2. С. 224–232.
23. Иоффе А.Д, Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1972. 480 c.
Поступила 23.12.2024
После доработки 27.01.2025
Принята к публикации 27.01.2025
Опубликована онлайн 20.03.2025 (Online First 2025)
Максимов Вячеслав Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: maksimov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: В.И. Максимов. Об одном алгоритме отслеживания входного воздействия системы дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2025. Т. 31, № 2. С. 141–154
V.I. Maksimov. On an algorithm of tracking an input action in a system of differential equations
The problem of tracking an unknown input action $u(\cdot)$ in a system of nonlinear ordinary differential equations is considered. Its essence consists in the construction of an algorithm for calculating some function that approximates~$u(\cdot)$ in the mean square. The algorithm in question should implement the tracking process in real time, i.e., it should calculate an approximation of the input action realized up to a time moment $t$, not later than this time. The input data to the algorithm are the results of inaccurate measurements of the system's phase state at discrete times. As a consequence of this feature of the problem, the exact tracking of $u(\cdot)$ is impossible. Therefore, we construct an algorithm of approximate tracking based on a controlled model. The model control obtained by the feedback principle taking into account current phase states is formed on the basis of an appropriate modification of the dynamic discrepancy method well-known in the theory of ill-posed problems.
Keywords: dynamic discrepancy method, input action tracking.
Received December 23, 2024
Revised January 27, 2025
Accepted January 27, 2025
Published online March 20, 2025 (Online First 2025)
Vyacheslav Ivanovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: maksimov@imm.uran.ru.
Cite this article as: V.I. Maksimov. On an algorithm of tracking an input action in a system of differential equations.Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 141–154
