УДК 517.9 + 550.331
MSC: 35Q30, 76D05, 76T10, 76T15
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-3-110-121
Рассматривается обратная задача для стационарной гидродинамической модели диффузии-адвекции-реакции. Искомой величиной в обратной задаче является коэффициент температуропроводности модели в некоторой недоступной для прямых измерений зоне функционирования модели. Для нахождения искомой величины предлагается использовать след нормальной производной от состояния модели на доступной части границы области ее реализации. Решение обратной задачи сводится к экстремальной (вариационной) задаче на минимум некоторого подходящего функционала невязки с его минимизацией на некотором множестве возможных искомых коэффициентов. Основное внимание в работе сосредоточено на алгоритмических вопросах и вопросах численного моделирования обратной задачи. Задача рассматривается в условиях, когда след нормальной производной от состояния модели является не обычной регулярной функцией, а обобщенной функцией (функционалом). Для решения задачи минимизации используется методом проекции градиента. Градиент функционала невязки находится аналитически из решения системы оптимальности, которая состоит из прямой и сопряженной задач. Для практической реализации градиентного метода предлагаются различные приемлемые варианты выбора шага спуска. Приведены результаты численного решения некоторых модельных примеров, которые показывают работоспособность предложенного подхода к решению обратной задачи. Следует отметить также, что подход весьма чувствителен к выбору начального приближения в итерационном процессе.
Ключевые слова: уравнение диффузии-адвекции-реакции, коэффициент температуропроводности, обратная задача, функционал невязки, экстремальная задача, точка минимума, метод проекции градиента
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
2. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 652 p.
3. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 1961. 203 с.
4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: УРСС, 2004. 480 с.
5. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.
6. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.
7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
8. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и их приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
9. Короткий А.И. Ассимиляция нерегулярных граничных данных при восстановлении коэффициентов моделей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 214–229. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-4-214-229
10. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
11. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston; London; Melbourn: Pitman Advanced Publishing Program, 1985. 410 p.
12. Adams R.A. Sobolev spaces. NY: Academic Press, 1975. 268 p.
13. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.
14. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
15. Jasak H. OpenFOAM: Open source CFD in research and industry // Inter. J. Naval Arch. Ocean Engineer. 2009. Vol. 1, № 2, P. 89–94. https://doi.org//10.2478/IJNAOE-2013-0011
Поступила 28.04.2026
После доработки 26.05.2026
Принята к публикации 1.06.2026
Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург,
e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Цепелев Игорь Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tsepelev@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.И. Короткий, И.А. Цепелев. Численное моделирование задачи восстановления параметров моделей в закрытой зоне по граничным данным // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. С. 110-121
English
A.I. Korotkii, I.A. Tsepelev. Numerical simulation of the problem of recovering the leading coefficient of a diffusion-advection-reaction in a closed zone using boundary data
An inverse problem for a steady-state hydrodynamic diffusion-advection-reaction model is considered. The desired quantity in the inverse problem is the thermal diffusivity of the model in a certain region of the model’s operation inaccessible to direct measurements. To find this desired quantity, it is proposed to use the trace of the normal derivative of the model’s state on an accessible part of the boundary of its implementation domain. The solution to the inverse problem is reduced to an extremal (variational) problem of minimizing some suitable residual functional and minimizing it over a certain set of possible desired coefficients. The paper focuses on algorithmic issues and numerical modeling of the inverse problem. The problem is considered under conditions where the trace of the normal derivative of the model’s state is not an ordinary regular function, but a generalized function (functional). To solve the minimization problem, it is proposed to use the gradient projection method. The gradient of the residual functional is found analytically from the solution of the optimality system, which consists of the direct and adjoint problems. For the practical implementation of gradient method, various acceptable options for choosing the descent step are proposed. The results of numerical simulations of several model examples are presented, demonstrating the viability of the proposed approach for solving the inverse problem. The approach is highly sensitive to the choice of the initial approximation in the iterative process.
Keywords: diffusion-advection-reaction equation, thermal diffusivity coefficient, inverse problem, residual functional, extremal problem, minimum point, gradient projection method
Received April 28, 2026
Revised May 26, 2026
Accepted June 1, 2026
Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Igor Anatolievich Tsepelev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: tsepelev@imm.uran.ru
Cite this article as: A.I. Korotkii, I.A. Tsepelev. Numerical simulation of the problem of recovering the leading coefficient of a diffusion-advection-reaction in a closed zone using boundary data. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 3, pp. 110–121.
