УДК 517.968.4
MSC: 45M15
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-183-196
Исследование второго автора выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 23RL-1A027.
В статье исследуется система нелинейных многомерных интегральных уравнений в первом октанте. Указанная система и ее скалярный аналог имеют приложения в различных отраслях математической физики. В частности, такие нелинейные интегральные уравнения встречаются в физической кинетике, в теории переноса излучения и в динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн. При определенных ограничениях на ядра и на нелинейности доказывается конструктивная теорема существования ограниченного неотрицательного нетривиального и непрерывного решения данной системы интегральных уравнений. Более того, при дополнительных условиях на ядра и на нелинейности устанавливается равномерная сходимость соответствующих последовательных приближений к решению со скоростью убывающей геометрической прогрессии. Доказывается также единственность построенного решения в определенном подклассе ограниченных вектор-функций с неотрицательными координатами. В конце работы приводятся конкретные примеры ядер и нелинейностей, удовлетворяющих всем условиям сформулированных теорем.
Ключевые слова: ядро, нелинейность, вогнутость, итерации,монотонность, ограниченное решение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
2. Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны // Теорет. и мат. физика. 2004. Vol. 138, № 3. P. 355–368. https://doi.org/10.4213/tmf36
3. Aref’eva I.Ya. , Koshelev A.S., Joukovskaya L.V. Time evolution in superstring field theory on non-BPS brane I. Rolling tachyon and energy-momentum conservation // J. High Energy Phys. 2003. Vol. 2003, no. 9. Art. no. 012, 15 p. https://doi.org/10.1088/1126-6708/2003/09/012
4. Владимиров В.С. О решениях p-адических струнных уравнений // Теорет. и мат. физика. 2011. Vol. 167, № 2. https://doi.org/10.4213/tmf6631
5. Cercignani C. The Boltzmann equation and its applications. Ser. Appl. Math. Sci, vol. 67. NY: Springer-Verlag, 1988. 455 p.
6. Villani C. Cercignani’s conjecture is sometimes true and always almost true // Commun. Math. Phys. 2003. Vol. 234, no. 3. P. 455–490. https://doi.org/10.1007/s00220-002-0777-1
7. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. О некоторых вопросах разрешимости нелинейного стационарного уравнения Больцмана в рамках БГК-модели // Тр. Моск. мат. общества. 2016. Vol. 77, № 1. С. 103–130.
8. Енгибарян Н.Б. Об одной нелинейной задаче переноса излучения // Астрофизика. 1965. Vol. 1, № 3. С. 297–302.
9. Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. Vol. 2, № 1. С 31–36.
10. Atkinson C., Reuter G.E.H. Deterministic epidemic waves // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1976. Vol. 80. P. 315–330. https://doi.org/10.1017/S0305004100052944
11. Diekmann O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biology. 1978. Vol. 6, no. 2. P. 109–130. https://doi.org/10.1007/BF02450783
12. Khachatryan Kh.A. On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis // Ukr. Math. J. 2010. Vol. 62, no. 4. P. 630–647. https://doi.org/10.1007/s11253-010-0376-9
13. Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О разрешимости одной системы сингулярных интегральных уравнений с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой // Изв. вузов. Математика. 2021. № 1. P. 31–51. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2021-1-31-51
14. Хачатрян Х.А. О разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на прямой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Vol. 19, № 2. P. 164–181. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-2-164-181
15. Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны // Изв. РАН. Сер. математическая. 2018. Vol. 82, № 2. С. 172–193. https://doi.org/10.4213/im8580
16. Хачатрян Х.А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн // Тр. Моск. мат. общества. 2018. Vol. 79, № 1. С. 117–132.
17. Хачатрян Х.А., Петросян А.С., Аветисян М.О. Вопросы разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений типа свертки в $\mathbb{R}^n$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Vol. 24, № 3. C. 247–262. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-3-247-262
18. Okrasinski W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain nonlinear convolution equation // Ann. Polon. Math. 1979. Vol. 36, no. 1. P. 61–72.
19. Diekmann O., Kaper H.G. On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation // Nonlinear Anal. 1978. Vol. 2, no. 6. P. 721–737. https://doi.org/10.1016/0362-546X(78)90015-9
20. Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О знакопеременных и ограниченных решениях одного класса нелинейных двумерных интегральных уравнений типа свертки // Тр. Моск. мат. общества. 2021. Vol. 82, № 2. С. 313–327.
21. Хачатрян Х.А., Хачатрян А.Х„ Петросян А.С. Вопросы существования, отсутствия и единственности решения одного класса нелинейных интегральных уравнений на всей прямой с оператором типа Гаммерштейна — Стилтьеса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Vol. 30, no. 1. С. 249–269. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2024-30-1-249-269
Поступила 17.01.2025
После доработки 28.01.2026
Принята к публикации 2.02.2026
Петросян Айкануш Самвеловна
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры высшей математики, физики и прикладной механики
Национальный аграрный университет Армении
г. Ереван
e-mail: Haykuhi25@mail.ru
Хачатрян Хачатур Агавардович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой теории функций и дифференциальных уравнений
Ереванский государственный университет
г. Ереван
e-mail: khachatur.khachatryan@ysu.am
Ссылка на статью: А.С. Петросян, Х.А. Хачатрян. Исследование вопросов существования и единственности ограниченного решения одной системы нелинейных многомерных интегральных уравнений в критическом случае // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 183-196
English
H.S. Petrosyan, Kh.A. Khachatryan. Study of the existence and uniqueness of a bounded solution of a system of nonlinear multidimensional integral equations in the critical case
The article studies a system of nonlinear multidimensional integral equations in the first octant. This system and its scalar analogue have applications in various branches of mathematical physics. In particular, such nonlinear integral equations are encountered in physical kinetics, in the theory of radiative transfer and in the dynamical theory of p-adic open-stopped strings. Under certain restrictions on kernels and nonlinearities, a constructive theorem of the existence of a bounded nonnegative continuous and continuously differentiable solution to the given system is proved. Moreover, under additional conditions on kernels and nonlinearities, uniform convergence of the corresponding successive approximations to the solution with the rate of decrease of the geometric progression is established. The uniqueness of the constructed solution in a certain subclass of bounded vector functions with nonnegative coordinates is also proved. At the end of the paper, specific examples of kernels and nonlinearities that satisfy all the conditions of the formulated theorems are given.
Keywords: kernel, nonlinearity, convexity, iterations, monotone bounded solution
Received January 17, 2026
Revised January 28, 2026
Accepted February 2, 2026
Funding Agency: The study by the first author was carried out with the financial support of the Science Committee of the Republic of Armenia within the framework of scientific project No. 23RL-1A027.
Haykanush Samvelovna Petrosyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Armenian National Agrarian University, 0009, Yerevan, Republic of Armenia, e-mail: Haykuhi25@mail.ru
Khachatur Aghavardovich Khachatryan, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Yerevan State University, 0025, Yerevan; Institute of Mathematics NAS, 0019, Yerevan, Republic of Armenia,e-mail: khachatur.khachatryan@ysu.am
Cite this article as: H.S. Petrosyan, Kh.A. Khachatryan. Study of the existence and uniqueness of a bounded solution of a system of nonlinear multidimensional integral equations in the critical case. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 183–196.
