УДК 517.977
MSC: 93C15, 93B03, 34A37, 49N25, 93C27
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-164-182
Работа второго автора выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения № 075-02-2026-737).
Рассматривается задача о построении двумерного множества достижимости машины Дубинса на плоскости геометрических координат в фиксированный момент окончания $t_f.$ Скалярное управление задает мгновенную угловую скорость поворота объекта и предполагается непрерывным. Интеграл от абсолютной величины управления считаем ограниченным. Известно, что множество достижимости в таком случае не является замкнутым. В работе исследуется замыкание множества достижимости при помощи “импульсных” управлений. Установлено, что в каждую точку замыкания можно перейти при помощи импульсного управления. При этом количество импульсов — не более двух. Если импульсов два, то первый реализуется в начальный момент $t_0 = 0$, а второй — в момент $(2∕3)t_f$. Доказательство такого факта опирается на специальное свойство фокальных радиусов эллипса. Дается параметрическое описание границы множества достижимости. Приведены результаты моделирования.
Ключевые слова: машина Дубинса, импульсное управление, фокальные радиусы эллипса, двумерное множество достижимости, параметрическое описание границы, численное моделирование
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cockayne E.J., Hall G.W.C. Plane motion of a particle subject to curvature constraints // SIAM J. Control Optim. 1975. Vol. 13, no. 1. P. 197–220.
2. Трубников Г.И. Аналитическое описание двумерного множества достижимости машины Дубинса с интегральным ограничением на управление // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2025. № 5.
С. 96–116.
3. Huseyin N., Huseyin A. On the continuity properties of the $L_p$ balls // J. Appl. Anal. 2023. Vol. 29, no. 1. P. 151–159. https://doi.org/10.1515/jaa-2022-1008
4. Gusev M.I. Asymptotic behavior of reachable sets with $L_p$-bounded controls // Ural Math. J. 2025. Vol. 11, no. 2. P. 128–143. https://doi.org/10.15826/umj.2025.2.009
5. Пацко В.С., Трубников Г.И., Федотов А.А. Машина Дубинса с ограничением на управление в $L_p$ при p ∈ (1,2]: построение двумерного множества достижимости // Материалы Всерос. конф., посвящен. памяти проф. Н. В. Азбелева и проф. Е. Л. Тонкова. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”, 2025. Ч. 2. С. 118–121.
6. Rishel R.W. An Extended Pontryagin Principle for Control System whose Control Laws Contain Measures // J. SIAM Control. Ser. A. 1965. Vol. 3, no. 2. P. 191–205.
7. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2003. 256 с.
8. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005. 429 с.
9. Пацко В.С., Трубников Г.И., Федотов А.А. Машина Дубинса: двумерное множество достижимости при импульсном управлении // Материалы IV Междунар. семинара “Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби”, посвящен. 80-летию акад. А.И. Субботина. 2026. С. 143–148.
10. Трубников Г.И. Об одном свойстве углов фокальных радиусов эллипса // Материалы IV Междунар. семинара “Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона – Якоби”, посвящен. 80-летию акад. А.И. Субботина. 2026. С. 179–184.
11. Марков А.А. Несколько примеров решения особого рода задач о наибольших и наименьших величинах // Сообщ. Харьков. мат. общ. Вторая сер. 1889. Т. 1, вып. 2. С. 250–276.
Поступила 26.01.2026
После доработки 9.02.2026
Принята к публикации 12.02.2026
Пацко Валерий Семенович
канд. физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: patsko@imm.uran.ru
Трубников Георгий Игоревич
математик
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: jora_it@mail.ru
Федотов Андрей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: andreyfedotov@mail.ru
Ссылка на статью: В.С. Пацко, Г.И. Трубников, А.А. Федотов. Двумерное множество достижимости машины Дубинса при импульсном управлении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 164–182.
English
V. S. Patsko, G. I. Trubnikov, A. A. Fedotov. Two-dimensional reachable set of Dubins car with impulse control
The problem of constructing a two-dimensional reachable set for the Dubins car on a plane of geometric coordinates at a fixed terminal time $t_f$ is considered. Scalar control specifies the instantaneous angular velocity of rotation and is assumed to be continuous. The integral of the absolute value of control is considered to be limited. It is known that in this case the reachable set is not closed. In the paper, we investigate the closure of the reachable set using “impulse” controls. It has been established that each point of the closure can be reached using impulse control. In this case, the number of impulses does not exceed two. If there are two impulses, then the first one is realized at the initial instant $t_0 = 0$, and the second one is performed at the instant $(2∕3)t_f$. The proof of this fact is based on a special property of the ellipse focal radii. A parametric description of the boundary of the reachable set is given. Simulation results are presented.
Keywords: Dubins car, impulse control, focal radii of an ellipse, two-dimensional reachable set, parametric description of the boundary, numerical modeling
Received January 26, 2026
Revised February 9, 2026
Accepted February 12, 2026
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2026-737).
Valerii Semenovich Patsko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: patsko@imm.uran.ru .
Georgii Igorevich Trubnikov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: jora_it@mail.ru .
Andrey Anatol’evich Fedotov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: andreyfedotov@mail.ru .
Cite this article as: V.S. Patsko, G.I. Trubnikov, A.A. Fedotov. Two-dimensional reachable set of Dubins car with impulse control. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 164–182.
