УДК 517.982.256 + 515.124.4
MSC: 41A30, 41A50, 41A52, 41A65, 43A20
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-62-70
В банаховом пространстве $X$ подпространство $Y$ называется чебышёвским, если для каждого $x \in X$ существует и единствен ближайший в $Y$ элемент. В 1940 году Дуб доказал, что пространство Харди $H_1$ образует чебышёвское подпространство в пространстве $L_1[0, 1]$ комплекснозначных функций. При этом пространство Харди $H_1$ изометрически изоморфно подпространству $Y_{\mathbb N} \subset L_1[0, 1]$, определенному как замыкание линейной оболочки комплексных экспонент со спектром в $\mathbb N$. В 1974 году Кахан описал все множества $M$ в $\mathbb Z$, для которых замыкание линейной оболочки комплексных экспонент со спектром из такого множества образует чебышёвское подпространство в $L_1[0, 1]$. Это бесконечные арифметические последовательности с нечетной разностью. То есть возможны два вида таких множеств с точностью до сдвига на целое число: $(2n + 1)\mathbb N$ и $(2n + 1)\mathbb Z$, $n \in \mathbb N\cup\{0\}$. В работе Кахана доказательства для множеств $\mathbb N$ и $(2n + 1)\mathbb N,\, n \in \mathbb N$, различны. В настоящей работе предпринята попытка частично обобщить результат Кахана на случай многих переменных. Так, в пространстве $L_1[0, 1]^n$ комплекснозначных функций $n$ действительных переменных исследуются существование и единственность элемента наилучшего приближения в замыкании линейной оболочки экспонент со спектром из пересечения $\mathbb Z^n$ с полупространством, ограниченном гиперплоскостью. Доказательство следует доказательству Кахана для множества $\mathbb N$.
Ключевые слова: комплексное пространство $L_1$, чебышевское подпространство, теорема Кахана, хорошо расположенное подмножество, дискретная абелева группа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышёвских множеств // Докл. АН СССР. 1958. Vol. 118, № 1. С. 17–19.
2. Kripke B.R., Rivlin T.J. Approximation in the metric of $L^1(X, \mu)$ // Trans. Am. Math. Soc. 1965. Vol. 119, no. 1. P. 101–122. https://doi.org/10.2307/1994233
3. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. мат. журн. 1965. Vol. 6, № 3. С. 711–714.
4. Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Berlin; Heidelberg: Springer, 1970. 415 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-41583-2
5. Doob J.L. A minimum problem in the theory of analytic functions // Duke Math. J. 1941. Vol. 8, № 3. P. 413–424. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-41-00834-7
6. Kahane J.-P. Best approximation in $L^1(T)$ // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 80, № 5. P. 788–804. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1974-13518-4
7. Бородин П.А. Чебышевские подпространства в пространстве Харди $H^1$ // Anal. Math. 1999. Vol. 25, no. 1. 243–264. https://doi.org/10.1007/BF02908440
8. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций, Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1950. 338 с.
9. Rudin W. Real and complex analysis. Singapore: McGraw-Hill Book Company, 1966. 430 p.
10. Shapiro J. Subspaces of $L^p(G)$ spanned by characters, $0 < p < 1$ // Israel J. Math. 1978. Vol. 29. P. 248–264. https://doi.org/10.1007/BF02762013
11. Bochner S. Boundary values of analytic functions in several variables and of almost periodic functions // Ann. Math. 1944. Vol. 45, no. 4. P. 708–722. https://doi.org/10.2307/1969298
12. Rudin W. Trigonometric series with gaps // J. Math. Mech. 1960. Vol. 9. no. 2, pp. 203–227. https://doi.org/10.1512/IUMJ.1960.9.59013
13. Alexandrov A.B. Essays on non-locally convex Hardy classes. Berlin: Springer-Verlag, 1980. P. 1–89. (Ser. Lecture Notes in Math; vol. 864). https://doi.org/10.1007/BFb0096996
14. Meyer Y. Spectres des mesures et mesures absolument continues // Studia Math. 1968. Vol. 30, no. 1. P. 87–99. http://eudml.org/doc/217267
15. Godefroy G. On Riesz subsets of Abelian discrete groups // Israel J. Math. 1988. Vol. 61, № 3. P. 301–331. https://doi.org/10.1007/BF02772575
16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 3-е изд. Москва: Наука, 1984. 752 с.
17. Hensgen W. Extremal problems for the vector-valued $\langle L^1/H_0^1, H^\infty\rangle$ duality // J. Approx. Theory. 1996. Vol. 84, no. 2. P. 162–171. https://doi.org/10.1006/jath.1996.0013
18. Arias A., Mascioni V. Best approximations in preduals of von Neumann algebras // J. London Math. Soc. 1992. Vol. 46. P. 491–498. https://doi.org/10.1112/jlms/s2-46.3.491
Поступила 10.06.2025
После доработки 1.09.2025
Принята к публикации 8.09.2025
Беднов Борислав Борисович
канд. физ.-мат. наук
Сеченовский университет
г. Москва
e-mail: noriiii@inbox.ru
Ссылка на статью: Б.Б. Беднов. Полупространство в $\mathbb Z^n$ образует чебышёвское подпространство в $\mbox{L_1[0, 1]^n}$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 62-70
English
B.B. Bednov. Half-space from $\mathbb Z^n$ forms a Chebyshev subspace in $\mbox{L_1[0, 1]^n}$
A subspace $Y$ in a Banach space $X$ is called Chebyshev subspace if for every $x \in X$ there exists a unique best approximation element in $Y$. J.L.Doob proved in 1940 that the Hardy space $H_1$ is a Chebyshev subspace in the space $L_1[0, 1]$ of complex-valued functions. So, the Hardy space $H_1$ is isometrically isomorphic to the subspace $Y_{\mathbb N} \subset L_1[0, 1]$ defined as the closure of a linear hull of exponents with spectrum in $\mathbb N$. J.-P. Kahane described in 1974 all sets $M$ in $\mathbb Z$ for which the closure of a linear hull of exponents with spectrum in $M$ forms a Chebyshev subspace in $L_1[0, 1]$. There are infinite arithmetic sequences with odd difference. Two types of such sets are possible up to an integer shift: $(2n + 1)\mathbb N$ and $(2n + 1)\mathbb Z$, $n \in \mathbb N\cup\{0\}$. There are different proofs for the sets $\mathbb N$ and $(2n + 1)\mathbb N,\, n \in \mathbb N$ in Kahane's theorem. In the present paper we attempt to partially generalizing Kahane's result in the case of several variables. Thus, we investigate existence and uniqueness of best approximation element in the closure of a linear hull of exponents with spectrum in the intersection of $\mathbb Z^n$ with a half-space bounded by a hyperplane in the space $L_1[0, 1]^n$ of complex-valued functions of $n$ real variables. The proof follows Kahane's proof for the set $\mathbb N$.
Keywords: complex $L_1$ space, Chebyshev subspace, Kahane's theorem, nicely placed subset, Abelian discrete group
Received June 10, 2025
Revised September 1, 2025
Accepted September 8, 2025
Borislav Borisovich Bednov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Sechenov University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: noriiii@inbox.ru
Cite this article as: B.B. Bednov. Half-space from $\mathbb Z^n$ forms a Chebyshev subspace in $\mbox{L_1[0, 1]^n}$. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 62–70.
