УДК 517.977
MSC: 93B03, 49K15
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-99-112
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2024-1377).
В работе рассматриваются множеств достижимости в заданный момент времени для аффинных по управлению систем с интегральными ограничениями на управление в пространстве $L_p$ при $p>1$. Целью работы является характеризация управлений, ведущих на границу множеств множеств достижимости, как решений экстремальных задач и исследование необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для данных управлений. Множество достижимости трактуется как образ множества допустимых управлений при нелинейном отображении, определяемом динамической системой. Изучается также применение принципа максимума для описания проекций множества достижимости на подпространство и его сечений гиперплоскостью. Исследована зависимость множества достижимости от ресурса управления. Полученные результаты проиллюстрированы на примере линейных систем. Показано, что в этом случае условия оптимальности для граничных управлений являются необходимыми и достаточными.
Ключевые слова: управляемая система, интегральные ограничения, множество достижимости, граничная точка, нелинейное отображение, принцип максимума
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kalman R.E., Ho Y.C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems// Contributions to Differential Equations. 1963. Vol. 1, no. 2. P. 189–213.
2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.
3. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 c.
4. Альбрехт Э.Г. О сближении квазилинейных объектов в регулярном случае // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 7. С. 1171–1178.
5. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 c.
6. Polyak B.T. Сonvexity of the reachable set of nonlinear systems under $L_2$ bounded controls // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. A: Math. Anal. 2004. Vol. 11, no. 2–3. P. 255–267.
7. Gusev M.I., Zykov I.V. On extremal properties of boundary points of reachable sets for a system with integrally constrained control // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50, no. 1. P. 4082–4087. doi: 10.1016/j.ifacol.2017.08.792
8. Patsko V.S., Trubnikov G.I., Fedotov A.A. Reachable set of the Dubins car with an integral constraint on control // Dokl. Math. 2023. Vol. 108, suppl. 1. P. S34–S41. doi: 10.1134/S106456242360080X
9. Rousse Р., Garoche P.L., Henrion D. Parabolic set simulation for reachability analysis of linear time invariant systems with integral quadratic constraint// European J. Control. 2021. Vol. 58. P. 152–167. doi: 10.1016/j.ejcon.2020.08.002
10. Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Differ. Equ. Appl. 2007. Vol. 14, no. 1–2. P. 57–73. doi: 10.1007/s00030-006-4036-6
11. Huseyin N. , Huseyin A. and Guseinov K.G. Approximations of the set of trajectories and integral funnel of the non-linear control systems with $L_p$ norm constraints on the control functions // IMA J. Math. Contr. Inform. 2022. Vol. 39. P. 1213–1231. doi: 10.1093/imamci/dnac028
12. Guseinov Kh.G., Nazlipinar A.S. On the continuity property of $L_p$ balls and an application // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 335. P. 1347–1359. doi: 10.1016/j.jmaa.2007.01.109
13. Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // Успехи мат. наук. 1980. Т. 35, № 6. С. 11–46.
14. Huseyin N., Huseyin A., Guseinov Kh.G. On the robustness property of a control system described by an Urysohn type integral equation // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2021. Vol. 27, no. 3. P. 263–270. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-263-270
15. Gusev Mikhail I. Computing the reachable set boundary for an abstract control system: revisited // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no 2. P. 99–108. doi: 10.15826/umj.2023.2.008
16. Понтрягин Л.С., Болтянский В., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 с.
17. Patsko V.S., Pyatko S.G., Fedotov A.A. Three-dimensional reachability set for a nonlinear control system // J. Comp. Syst. Sci. Intern. 2003. Vol. 42, no. 3. P. 320–328.
18. Xiao Q., Li L., Zhang J., Xu M. Two-dimensional reachability of low-thrust spacecraft // IEEE Transact. Aerospace Electr. Syst. 2024. Vol. 60, no. 3. P. 3698–3706. doi: 10.1109/TAES.2024.3356986
19. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. 472 с.
Поступила 1.06.2024
После доработки 13.06.2024
Принята к публикации 17.06.2024
Гусев Михаил Иванович
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: gmi@imm.uran.ru
Ссылка на статью: М.И. Гусев. О некоторых свойствах множеств достижимости нелинейных систем с ограничениями на управление в $L_p$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 99-112
English
M.I. Gusev. On some properties of reachable sets for nonlinear systems with control constraints in $L_p$
The paper considers reachable sets at a given time for control-affine systems with integral control constraints in the space $L_p$ for $p>1$. The goal of the paper is to characterize controls leading to the boundary of reachable sets as solutions to extremal problems and to study the necessary optimality conditions in the form of the Pontryagin maximum principle for these controls. A reachable set is interpreted here as the image of the set of admissible controls under a nonlinear mapping defined by a dynamical system. We also study the application of the maximum principle to describe projections of a reachable set onto a subspace and its sections by a hyperplane. The dependence of a reachable set on the control resource is studied. The results obtained are illustrated using the example of linear systems. It is shown that in this case the optimality conditions for boundary controls are necessary and sufficient.
Keywords: control system, integral constraints, reachable set, nonlinear mapping, maximum principle
Received June 1, 2024
Revised June 13, 2024
Accepted June 17, 2024
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2024-1377).
Mikhail Ivanovich Gusev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: gmii@imm.uran.ru
Cite this article as: M.I. Gusev. On some properties of reachable sets for nonlinear systems with control constraints in $L_p$. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 99–112.
[References -> on the "English" button bottom right]
