Ю.Ф. Долгий, А.Н. Сесекин. Исследование регуляризации вырожденной задачи импульсной стабилизации системы с последействием ... С. 80-99

УДК 517.929

MSC: 34K06, 34K20, 34K30, 93C27

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-80-99

Рассматривается вырожденная задача стабилизации линейной автономной системы дифференциальных уравнений с последействием и импульсными управлениями. Для ее регуляризации используется невырожденный критерий качества переходных процессов, близкий к вырожденному. Применяется преобразование регуляризованной задачи стабилизации для импульсных управлений к вспомогательной невырожденной задаче оптимальной стабилизации для неимпульсных управлений, содержащих последействие. При решении вспомогательной задачи используется принцип динамического программирования Беллмана. При нахождении определяющей системы уравнений для коэффициентов квадратичного функционала Беллмана применяется постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональных пространствах состояний и управлений. Получено представление для импульса оптимального стабилизирующего управления. Сложная задача нахождения решения определяющей системы уравнений для функционала Беллмана заменяется задачей нахождения решения определяющей системы уравнений для коэффициентов представления оптимального стабилизирующего управления. Последняя задача имеет меньшую размерность. Найдена асимптотическая зависимость оптимального стабилизирующего управления от параметра регуляризации, когда размерность вектора управления совпадает с размерностью вектора состояний.

Ключевые слова: линейная автономная система, запаздывание, оптимальная стабилизация, импульсное управление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26, вып. 1. С. 39–51.

2.   Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Теория устойчивости движений / ред. И. Г. Малкин. М.: Наука, 1966. 532 с.

3.   Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

4.    Долгий Ю.Ф., Сурков П.Г. Математические модели систем с запаздыванием. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2012. 122 с.

5.   Delfour M.C., McCalla C., Mitter S.K. Stability and the infinite-time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems // SIAM J. Control. 1975. Vol. 13, no. 1. P. 48–88. doi: 10.1137/0313004

6.   Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control Optimiz. 1983. Vol. 21, no. 5. P. 95–135. doi: 10.1137/0321006

7.   Fiagbedzi Y.A., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear autonomous time lag system // IEEE Trans. Automat. Control. 1986. Vol. 31. P. 847–855. doi: 10.1109/TAC.1986.1104417

8.   Хартовский В.Е. Обобщение задачи полной управляемости дифференциальных систем с соизмеримыми запаздываниями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 6. С. 3–11.

9.   Bensoussan A., Da Prato G., Delfour M.C., Mitter S.K. Representation and control of infinite dimensional systems. Boston; Basel; Berlin: Bikhauser, 2007. 575 p.

10.   Wang G., Xu Y. Periodic feedback stabilization for linear periodic evolution equations. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2016. 127 p.

11.   Pandolfi L. Stabilization of neutral functional differential equations // J. Optimization Theory Appl. 1976. Vol. 20, no. 2. P. 191–204. doi: 10.1007/BF01767451

12.   Yanushevsky R.T. Optimal control of linear differential-difference systems of neutral type // Int. J. Control. 1989. Vol. 49, no. 6. P. 1835–1850.

13.   Rabah R., Sklyar G.M., Rezounenko A.V. On strong regular stabilizability of linear neutral type systems // J. Diff. Eq. 2008. Vol. 245, no. 3. P. 569–593. doi: 10.1016/j.jde.2008.02.041

14.   Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336 с.

15.   Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 4. С. 716–724.

16.   Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1963. № 6. С. 3–15.

17.   Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, № 5. С. 605–618.

18.   Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. Приближенное решение задачи аналитического конструирования для систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1968. № 3. С. 13–20.

19.   Dolgii Yu., Sesekin A. Optimal pulse stabilization of autonomous linear systems of differential equations with aftereffect // Proc. Int. Conf. 15th International Conference of stability and oscillations of nonlinear control systems (Pyatnitskiy’s Conference) (STAB 2020). IEEE, 2020. 4 p. doi: 10.1109/STAB49150.2020.9140479

20.   Андреева И.Ю., Сесекин А.Н. Импульсная линейно-квадратичная задача оптимизации в системах с последействием // Изв. вузов. Математика. 1995. № 10. С. 10–14.

21.   Желонкина Н.И., Ложников А.Б., Сесекин А.Н. Об оптимальной стабилизации импульсным управлением линейных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 2013. № 11. С. 39–48. doi: 10.1134/S0005117913110039

22.   Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3–53. doi: 10.1134/S0005117906010012

23.   Долгий Ю.Ф., Сесекин А.Н. Исследование регуляризации вырожденной задачи импульсной стабилизации системы с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 74–95. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-74-95

24.   Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсно-скользящие режимы в нелинейных динамических системах // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 5. С. 790–799.

Поступила 24.08.2023

После доработки 17.10.2023

Принята к публикации 30.10.2023

Долгий Юрий Филиппович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: yurii.dolgii@imm.uran.ru

Сесекин Александр Николаевич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор, зав. кафедрой
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: a.n.sesekin@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Ю.Ф. Долгий, А.Н. Сесекин. Исследование регуляризации вырожденной задачи импульсной стабилизации  системы с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 80-99

English

Yu.F. Dolgii, A.N. Sesekin. A study of regularization for a degenerate problem of impulsive stabilization in a system with aftereffect

A degenerate problem of stabilization of a linear autonomous system of differential equations with aftereffect and impulse controls is considered. For its regularization, a non-degenerate criterion for the quality of transient processes is used, which is close to a degenerate one. The regularized stabilization problem for impulse controls is replaced by an auxiliary non-degenerate optimal stabilization problem for non-impulse controls containing aftereffect. Bellman’s dynamic programming principle is used to solve the auxiliary problem. When finding the governing system of equations for the coefficients of the quadratic Bellman functional, the formulation of the optimal stabilization problem in the functional spaces of states and controls is used. A representation is obtained for the pulse of the optimal stabilizing control. The difficult problem of finding a solution to the governing system of equations for the Bellman functional is replaced by the problem of finding a solution to the governing system of equations for the coefficients of the representation of the optimal stabilizing control. The latter problem has lower dimension. The asymptotic dependence of the optimal stabilizing control on the regularization parameter is found when the dimension of the control vector coincides with the dimension of the state vector.

Keywords: linear autonomous system, aftereffect, optimal stabilization, impulse control

Received August 24, 2023

Revised October 17, 2023

Accepted October 30, 2023

Yuriy Filippovich Dolgii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekateriburg, 620000, Russia, e-mail: yurii.dolgii@imm.uran.ru

Alexander Nikolaevich Sesekin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: a.n.sesekin@urfu.ru

Cite this article as: Yu.F. Dolgii, A.N. Sesekin. A study of regularization for a degenerate problem of impulsive stabilization in a system with aftereffect. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 80–99.

[References -> on the "English" button bottom right]