УДК 517.5
MSC: 41А15
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-219-232
Полный текст статьи (Full text)
Памяти Анатолия Федоровича Сидорова
В статье рассматривается задача Яненко — Стечкина — Субботина экстремальной функциональной интерполяции в среднем на равномерной сетке числовой оси бесконечных в обе стороны последовательностей с наименьшим значением нормы в пространстве $L_p(R)\ (1<p<\infty)$ линейного дифференциального оператора ${\cal L}_n$ с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что соответствующие оператору ${\cal L}_n$ обобщенные конечные разности каждой последовательности ограничены в пространстве $l_p$, шаг сетки $h$ и шаг усреднения $h_1$ связаны неравенством $h<h_1<2h$, а оператор ${\cal L}_n$ является формально самосопряженным. При данных предположениях в случае нечетного $n$ указанная наименьшая норма оператора вычислена точно, и экстремальной функцией является обобщенный $\cal L$-сплайн, у которого узлы интерполяции и "склейки" совпадают. Работа является продолжением исследований Ю.Н. Субботина и автора в данной задаче, начатых Ю.Н. Субботиным в 1965 г.
Ключевые слова: экстремальная интерполяция, сплайны, равномерная сетка, формально самосопряженный дифференциальный оператор, минимальная норма, сплайны
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 24–42.
2. Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей n-ой производной // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 39–60.
3. Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 118–173.
4. Субботин Ю.Н., Новиков С.И., Шевалдин В.Т. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 3. С. 200–225. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-200-225
5. Субботин Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением n-ой производной при больших интервалах усреднения // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 1. С. 114–132. doi: 10.4213/mzm1699
6. Subbotin Yu.N. Some extremal problems of interpolation and interpolation in the mean // East J. Approx. 1996. Vol. 2, no. 2. Р. 155–167.
7. Субботин Ю.Н. Экстремальная в $L_p$ интерполяция в среднем при пересекающихся интервалах усреднения // Изв. РАН. Сер. математическая. 1997. Т. 61, № 1. С. 177–198. doi: 10.4213/im110 .
8. Шарма А., Цимбаларио И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности // Мат. заметки. 1977. Т. 21, № 2. С. 161–173.
9. Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 164. С. 203–240.
10. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 5. С. 721–740.
11. Шевалдин В.Т. Об одной задаче экстремальной интерполяции // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 4. С. 603–622.
12. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения и L-сплайны // Изв. РАН. Сер. математическая. 1998. Т. 62, № 4. С. 201–224. doi: 10.4213/im193
13. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13, № 5(83). С. 3–120.
Поступила 25.01.2023
После доработки 14.02.2023
Принята к публикации 20.02.2023
Шевалдин Валерий Трифонович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru
Ссылка на статью: В.Т. Шевалдин. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 219-232
English
V.T. Shevaldin. Extremal interpolation in the mean with overlapping averaging intervals and the smallest norm of a linear differential operator
The Yanenko—Stechkin—Subbotin problem of extremal functional interpolation in the mean is considered for sequences infinite in both directions on a uniform grid of the numerical axis with the smallest norm in the space $L_p(R)$ $(1 <p<\infty)$ of a linear differential operator ${\cal L}_n$ with constant coefficients. It is assumed that the generalized finite differences of each sequence corresponding to the operator ${\cal L}_n$ are bounded in the space $l_p$, the grid step $h$ and the averaging step $h_1$ are related by the inequality $h<h_1<2h$, and the operator ${\cal L}_n$ is formally self-adjoint. Under these assumptions, in the case of odd $n$, the smallest norm of the operator is found exactly, and the extremal function is a generalized $\cal L$-spline whose knots coincide with the interpolation nodes. This work continues the research of this problem by Yu.N. Subbotin and the author started by Subbotin in 1965.
Keywords: extremal interpolation, splines, uniform grid, formally self-adjoint differential operator, minimum norm, splines
Received January 25, 2023
Revised February 14, 2023
Accepted February 20, 2023
Shevaldin Valerii Trifonovich, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru
Cite this article as: V.T. Shevaldin. Extremal interpolation in the mean with overlapping averaging intervals and the smallest norm of a linear differential operator, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 219–232.
[References -> on the "English" button bottom right]
