# Emine Çelik, Yulong Li, Aleksey S. Telyakovskiy. On the fractional Newton method with Caputo derivatives ... P. 273-276

UDK 519.615.5

MSC: 26A33 65H05

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-273-276

Полный текст статьи (Full text)

Newton's method is commonly used to solve nonlinear algebraic equations due to its quadratic rate of convergence in the vicinity of the root. Multiple modifications of Newton's method are known, some lead to more stable calculations, although often at the expense of the rate of convergence. Here, derivative in Newton's method is replaced by Caputo fractional derivative, and the goal is to find all the roots, including complex, of nonlinear algebraic equation starting from the same real initial guess by varying the order of fractional derivative. This problem was analyzed by Akgül et al (2019), here some issues with their theoretical analysis and application of the method to the specific example are pointed out. The case of Caputo fractional derivatives of order $(0,1]$ is analyzed. Akgül et al 2019 employ Caputo fractional Taylor's series of Odibat and Shawagfeh, 2007 for theoretical analysis. Specific issues with the paper are the following: 1) In iterative step integration in fractional derivative is done over interval $[\bar{x}, x_k]$, where $\bar{x}$ is the unknown root, and $x_k$ is the approximation of the root on the $k$-th iteration. 2) Expression for the derivative of fractional Taylor's series is only valid if derivative is evaluated over $[\bar{x},x_k]$. 3) Expression for the rate of convergence is not correct. 4) In theoretical analysis, left fractional Caputo Taylor series is used, although if $x_{k+1}<\bar{x}$, then right fractional Taylor series should be used. 5) Numerical estimation of the rate of convergence gave value different from predicted by Akg\"ul et al 2019. Plus, not clear over which interval integration was done to generate the numerical results.

Keywords: nonlinear equations, Caputo fractional derivative, Newton's method, convergence

REFERENCES

1.   Akgül A., Cordero A., Torregrosa J.R. A fractional Newton method with 2αth-order of convergence and its stability. Appl. Math. Lett., 2019, vol. 98, pp. 344–351. doi: 10.1016/J.AML.2019.06.028

2.   Cao J.X, Li C.P., Chen Y.Q. High-order approximation to Caputo derivatives and Caputo-type advection-diffusion equations (II). Fract. Calc. Appl. Anal., 2015, vol. 18, no. 3, pp. 735–761. doi: 10.1515/fca-2015-0045

3.   Kincaid D, Cheney W. Numerical analysis: Mathematics of scientific computing, 3rd revised edition. American Mathematical Society, 2002, 788 p. ISBN: 0821847880 .

4.   Li C.P. High-order approximation to Caputo derivatives. MATLAB Central File Exchange, 2021, https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/53924-high-order-ap...(Retrieved May 27, 2021).

5.   Li C.P, Wu R.F., Ding H.F. High-order approximation to Caputo derivatives and Caputo-type advection-diffusion equations (I). Communications in Appl. and Industr. Math., 2014, vol. 6, no. 2, e-536, pp. 1–32. doi: 10.1685/journal.caim.536

6.   Li H., Cao J.X., Li C.P. High-order approximation to Caputo derivatives and Caputo-type advection-diffusion equations (III). J. of Comp. and Appl. Math., 2016, vol. 299, pp. 159–175. doi: 10.1016/j.cam.2015.11.037

7.   Odibat Z.M., Shawagfeh N.T. Generalized Taylor’s formula. Appl. Math. Comput., 2007, vol. 186, no. 1, pp. 286–293. doi: 10.1016/j.amc.2006.07.102

8.   Olsen J.S., Mortensen J., Telyakovskiy A.S. A two-sided fractional conservation of mass equation. Advances in Water Resources, 2016, vol. 91, pp. 117–121. doi: 10.1016/j.advwatres.2016.03.007

Revised November 6, 2022

Accepted November 10, 2022

Emine Çelik, PhD, Lecturer, Department of Mathematics, Sakarya University, 54050, Sakarya, Türkiye, email: eminecelik@sakarya.edu.tr

Yulong Li, PhD, Postdoc, Department of Mathematics & Statistics, University of Nevada, Reno, NV 89557, USA, email: yulongl@unr.edu; liyulong0807101@gmail.com

Aleksey S. Telyakovskiy, PhD, Professor, Department of Mathematics & Statistics, University of Nevada, Reno, NV 89557, USA, email: alekseyt@unr.edu

Cite this article as: Emine Çelik, Yulong Li, Aleksey S. Telyakovskiy. On the fractional Newton method with Caputo derivative, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 273–276.

Русский

Эмине Челик, Юлонг Ли, Алексей Сергеевич Теляковский. О дробном методе Ньютона с производными по Капуто

Метод Ньютона часто используется для решения нелинейных алгебраических уравнений, так как он имеет квадратичную скорость сходимости вблизи корня уравнения. Существует много модификаций метода Ньютона, некоторые приводят к более устойчивым вычислениям, хотя при этом может страдать скорость сходимости. В данной работе производная в методе Ньютона заменена нецелочисленной производной по Капуто, и целью является нахождение всех корней, включая комплексные, нелинейного алгебраического уравнения, начиная вычисления из одного и того же вещественного приближения, изменяя только порядок нецелочисленной производной. Эта задача была рассмотрена Акгул в 2019 г. Здесь указаны недочеты теоретического анализа и применения метода к конкретному примеру в упомянутой работе Акгул. Рассмотрен случай нецелочисленных производных по Капуто порядка $(0,1]$. Акгул в работе 2019 использует нецелочисленный Капуто ряд Тейлора в смысле Одибата и Шавагфе 2007 г. Конкретные недочеты следующие: 1) во время итераций интегрирование в нецелочисленной производной проводится по интервалу $[\bar{x}, x_k]$, где $\bar{x}$ — неизвестный корень, а $x_k$ — приближение корня на $k$-й итерации, 2) выражение для производной нецелочисленного ряда справедливо, только если производная вычислена на интервале $[\bar{x}, x_k]$, 3) выражение для скорости сходимости неверно, 4) во время теоретического анализа используется левый нецелочисленный ряд Тейлора в смысле Капуто, хотя если  $x_{k+1}<\bar{x}$, то должен использоваться правый ряд Тейлора, 5) численная оценка скорости сходимости дала значение, отличное от полученного в работе Акгул. Кроме того, не ясно, по какому промежутку производилось интегрирование для получения численных результатов.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, дробная производная по Капуто, метод Ньютона, сходимость