И.А. Чистяков, П.А. Точилин. Построение разрывных кусочно-квадратичных функций цены в задаче целевого управления ... С. 259-273

УДК 517.977

MSC: 93C10, 49L20, 34A38

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-259-273

Результаты разд. 1–3, 6–9 получены первым автором при содействии Московского центра фундаментальной и прикладной математики (соглашение № 075-15-2022-284). Результаты разд. 4–5 получены вторым автором при поддержке Российского научного фонда (проект № 22-11-00042).

Рассматривается метод приближенного решения задач разрешимости и синтеза управлений для нелинейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на фиксированном отрезке времени. Метод основан на гибридизации уравнений и переходе к эквивалентным задачам для кусочно-линейной системы. Далее строится функция цены, которая ищется как приближенное решение уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана, и применяется принцип сравнения. При этом решение выбирается из класса кусочно-квадратичных функций. Для повышения точности метода допускается, что указанная функция цены может иметь разрывы на определенных множествах в фазовом пространстве. В работе представлен численный алгоритм для нахождения управления в форме обратной связи. Кроме того, получена априорная оценка погрешности попадания в целевое множество для исходной нелинейной системы.

Ключевые слова: нелинейная динамика, синтез управлений, динамическое программирование, принцип сравнения, линеаризация, система с переключениями, кусочно-квадратичная функция цены

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Куржанский А.Б. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона — Якоби в теории управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12, № 1. C. 173–183.

2.   Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes. Basel: Birkhäuser, 2014. 445 p. (SCFA, vol. 85). doi: 10.1007/978-3-319-10277-1 

3.   Habets L.C.G.J.M., Collins P.J., van Schuppen J.H. Reachability and control synthesis for piecewise-affine hybrid systems on simplices // IEEE Trans. Automatic Control. 2006. Vol. 51, no. 6. P. 938–948. doi: 10.1109/TAC.2006.876952 

4.   Girard A., Martin S. Synthesis of constrained nonlinear systems using hybridization and robust controllers on simplices // IEEE Trans. Automatic Control. 2012. Vol. 57, no. 4, P. 1046–1051. doi: 10.1109/TAC.2011.2168874 

5.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Институт компьютерных исследований, 2003. 336 c.

6.   Fleming W.H., Soner H.M. Controlled Markov Processes and viscosity solutions. NY: Springer, 2006. 429 p. doi: 10.1007/0-387-31071-1 

7.   Чистяков И.А., Точилин П.А. Приближенное решение задачи целевого управления в случае нелинейности по одной переменной // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 11. C. 1560–1571.

8.   Чистяков И.А., Точилин П.А. Применение кусочно-квадратичных функций цены для приближенного решения нелинейной задачи целевого управления // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 11. C. 1545–1554.

9.   Tochilin P.A. Piecewise affine feedback control for approximate solution of the target control problem // IFAC-PapersOnLine. 2020. Vol. 53, no. 2. P. 6127–6132. doi: 10.1016/j.ifacol.2020.12.1691 

10.   Точилин П.А., Чистяков И.А. О построении разрывного кусочно-аффинного синтеза в задаче целевого управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. C. 194–210. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-194-210 

11.   Tarjan R. Depth-first search and linear graph algorithms // SIAM Journal on Computing. 1971. Vol. 1, № 2. P. 146–160. doi: 10.1137/0201010 

12.   Sharir M. A strong-connectivity algorithm and its applications in data flow analysis // Computers & Mathematics with Applications. 1981. Vol. 7, no. 1. P. 67–72. doi: 10.1016/0898-1221(81)90008-0 

13.   Nesterov Yu., Nemirovskii A. Interior-point polynomial algorithms in convex programming. Philadelphia: SIAM, 1994. 405 p. (SIAM studies in applied mathematics; vol. 13). doi: 10.1137/1.9781611970791 

14.   Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

15.   Reissig G. Computing Abstractions of Nonlinear Systems // IEEE Trans. Automatic Control. 2011. Vol. 56, no. 11. P. 2583–2598. doi: 10.1109/TAC.2011.2118950 

Поступила 19.05.2022

После доработки 11.07.2022

Принята к публикации 18.07.2022

Чистяков Иван Александрович
аспирант факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: chistyakov.ivan@yahoo.com

Точилин Павел Александрович
канд. физ.-мат. наук
доцент факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М.В. Ломоносова;
Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН
г. Москва
e-mail: tochilin@cs.msu.ru

Ссылка на статью: И.А. Чистяков, П.А. Точилин. Построение разрывных кусочно-квадратичных функций цены в задаче целевого управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 259-273

English

I.A. Chistyakov, P.A. Tochilin. Construction of discontinuous piecewise quadratic value functions in a target control problem

We consider a method for the approximate solution of solvability and control synthesis problems for a nonlinear autonomous system of ordinary differential equations on a fixed time interval. The proposed method is based on hybridization of equations and consideration of equivalent problems for a piecewise linear system. Next, the value function is constructed as an approximate solution of the Hamilton–Jacobi–Bellman equation, and the comparison principle is applied. The solution is chosen from the class of piecewise quadratic functions. To improve the accuracy of the method, the specified value function is assumed to have discontinuities on certain sets in the state space. We propose a numerical algorithm for feedback control calculation and obtain an a priori error estimate of reaching the target set for the original nonlinear system.

Keywords: nonlinear dynamics, control synthesis, dynamic programming, comparison principle, linearization, switched system, piecewise quadratic value function

Received May 19, 2022

Revised July 11, 2022

Accepted July 18, 2022

Funding Agency: The results of sections 1-3 and 6-9 were obtained by the first author with the financial support of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation as part of the program of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics under the agreement № 075-15-2022-284. The results of sections 4-5 were obtained by the second author with the financial support of the Russian Science Foundation (project № 22-11-00042).

Ivan Aleksandrovich Chistyakov, doctoral student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: chistyakov.ivan@yahoo.com

Pavel Aleksandrovich Tochilin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow, 119991 Russia; V.A.Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, 117997 Russia,
e-mail: tochilin@cs.msu.ru

Cite this article as: I.A. Chistyakov, P.A. Tochilin. Construction of discontinuous piecewise quadratic value functions in a target control problem. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 259–273.

[References -> on the "English" button bottom right]