A.S. Kondrat'ev, N.A. Minigulov. Finite solvable groups whose Gruenberg–Kegel graphs are isomorphic to the paw ... P. 269-273

MSC: 20D10, 20D60, 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-269-273

The work is supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-71-10067).

This paper is based on the results of the 2021 Conference of International Mathematical Centers “Groups and Graphs, Semigroups and Synchronization".

The Gruenberg–Kegel graph (or the prime graph) of a finite group $G$ is the graph, in which the vertex set is the set of all prime divisors of the order of $G$ and two different vertices $p$ and $q$ are adjacent if and only if there exists an element of order $pq$ in $G$. The paw is the graph on four vertices whose degrees are 1, 2, 2, and 3. We consider the problem of describing finite groups whose Gruenberg–Kegel graphs are isomorphic as abstract graphs to the paw. For example, the Gruenberg–Kegel graphs of the groups $A_{10}$ and $\mathrm{Aut}(J_2)$ are isomorphic as abstract graphs to the paw. In this paper, we describe finite solvable groups whose Gruenberg–Kegel graphs are isomorphic as abstract graphs to the paw.

Keywords: finite group, solvable group, Gruenberg–Kegel graph, paw

REFERENCES

1.   Aschbacher M. Finite group theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986, 274 p. ISBN: 0521458269.

2.   Conway J.N., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Oxford Univ. Press, 1985, 252 p. ISBN: 0-19-853199-0.

3.   Gorenstein D. Finite groups. NY: Harper and Row, 1968, 574 p. ISBN10: 0828403015.

4.   Kondrat’ev A.S. Finite groups with prime graph as in the group Aut($J_2$). Proc. Steklov Inst. Math., 2013, vol. 283, suppl. 1, pp. 78–85. doi: 10.1134/S0081543813090071 

5.   Kondrat’ev A.S. Finite groups that have the same prime graph as the group $A_{10}$. Proc. Steklov Inst. Math., 2014, vol. 285, suppl. 1, pp. 99–107. doi: 10.1134/S0081543814050101 

6.   Kondrat’ev A.S., Minigulov N.A. Finite almost simple groups whose Gruenberg–Kegel graphs as abstract graphs are isomorphic to subgraphs of the Gruenberg–Kegel graph of the alternating group $A_{10}$. Siberian Electr. Math. Rep., 2018, vol. 15, pp. 1378–1382. doi: 10.17377/semi.2018.15.113 

7.   Kondrat’ev A.S., Minigulov N.A. On finite non-solvable groups whose Gruenberg–Kegel graphs are isomorphic to the paw. Commun. Math. Stat., 2021. doi: 10.1007/s40304-021-00242-x

8.   Williams J.S. Prime graph components of finite groups. J. Algebra, 1981, vol. 69, no. 2, pp. 487–513. doi: 10.1016/0021-8693(81)90218-0 

9.   Zinov’eva M.R., Mazurov V.D. On finite groups with disconnected prime graph. Proc. Steklov Inst. Math., 201, vol. 283, suppl. 1, pp. 139–145. doi: 10.1134/S0081543813090149

Received April 10, 2022

Revised May 6, 2022

Accepted May 11, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project 19-71-10067).

Anatolii Semenovich Kondrat’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: a.s.kondratiev@imm.uran.ru

Nikolai Alesandrovich Minigulov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: n.a.minigulov@imm.uran.ru

Cite this article as: A.S. Kondrat'ev, N.A. Minigulov. Finite solvable groups whose Gruenberg–Kegel graphs are isomorphic to the paw, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 269–273.

Русский

А.С. Кондратьев, Н.А. Минигулов. Конечные разрешимые группы, графы Грюнберга — Кегеля которых изоморфны графу “балалайка”

Граф Грюнберга — Кегеля (или граф простых чисел) конечной группы $G$ — это граф, в котором вершинами служат все простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$.  Граф "балалайка" — это граф на четырех вершинах, степени которых равны 1, 2, 2 и 3. Мы рассматриваем проблему описания конечных групп, графы Грюнберга — Кегеля которых как абстрактные графы изоморфны графу "балалайка". Например, графы Грюнберга — Кегеля групп $A_{10}$ и $\mathrm{Aut}(J_2)$ как абстрактные графы изоморфны графу "балалайка". В этой работе мы описываем конечные разрешимые группы, графы Грюнберга — Кегеля которых изоморфны графу "балалайка".

Ключевые слова: конечная группа, разрешимая группа, граф Грюнберга — Кегеля, граф "балалайка".