М.Ш. Шабозов, Г.А. Юсупов, Дж.Дж. Заргаров. О наилучшей совместной полиномиальной аппроксимации функций и их производных в пространствах Харди ... С. 239-254

УДК 517.5

MSC: 42C10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-239-254

В работе решаются экстремальные задачи, связанные с наилучшим совместным полиномиальным приближением аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Харди $\mathscr{H}_{2}$. Задача совместного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами была рассмотрена А.Л. Гаркави в 1960 г. Затем в том же году А.Ф. Тиман рассмотрел указанную задачу для классов целых функций, определенных на всей оси. Здесь получен ряд точных теорем и вычислены точные значения верхних граней наилучших совместных приближений функции и ее последовательных производных полиномами и их соответствующими производными на некоторых классах комплексных функций, принадлежащих пространству Харди $\mathscr{H}_{2}.$

Ключевые слова: наилучшее совместное приближение, аналитическая функция, единичный круг, модуль непрерывности, экстремальная задача, угловое граничное значение, полином

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22, вып. 5. С. 631–640.

2.   Scheick J.T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 17. P. 1238–1243.

3.   Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр. мат. журн. 1967. Т. 19, № 2. С. 104–109.

4.   Белый В.И., Двейрин М.З. О наилучших линейных методах приближения на классах функций, определяемых союзными ядрами // Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукова думка, 1971. Вып. 2. С. 37–54.

5.   Двейрин М.З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукова думка, 1975. Вып. 6. С. 41–54.

6.   Двейрин М.З. Поперечники и $\varepsilon$-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республ. науч. сб. / Харьковский нац. университет им. В.Н. Каразина. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1975. Вып. 23. С. 32–46.

7.   Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 3(93). С. 81–120.

8.   Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Моск. гос. ун-т, 1976. 304 с.

9.   Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 155–162.

10.   Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшие приближения в смысле А.Н. Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Мат. заметки. 1986. Т. 40, вып. 3. С. 341–351.

11.   Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. 1977. Т. 22, вып. 2. С. 285–295.

12.   Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве $H_2$ // Мат. заметки. 2000. Т. 68, вып. 5. С. 796–800.

13.   Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 6. С. 747–749.

14.   Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие методы приближения и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве $H_{q,\rho},\, 1\le q\le\infty,\, 0<\rho\le1$  // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 2. С. 469–478.

15.   Гаркави А.Л. О совместном приближении периодической функции и ее производных тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1960. Т. 24, вып. 1. С. 103–128.

16.   Тиман А.Ф. К вопросу об одновременной аппроксимации функций и их производных на всей числовой оси // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1960. Т. 24, вып. 3. С. 421–430.

17.   Кусис П. Введение в теорию пространств $H^p$. М.: Мир, 1984. 256 с.

18.   Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М: Гостехиздат, 1950. 336 с.

19.   Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного.М.; Л.: Мир, 1964. 440 с.

20.   Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации // Укр. мат. журн., 2011. Т. 63, № 12. C. 1579–1601.

21.   Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона — Стечкина в $L_2$ и поперечники функциональных классов // Мат. заметки, 2009. Т. 86, вып. 3. C. 328–336.

Поступила 28.02.2021

После доработки 10.09.2021

Принята к публикации 11.10.2021

Шабозов Мирганд Шабозович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Таджикский национальный университет
г. Душанбе
e-mail: shabozov@mail.ru

Юсупов Гулзорхон Амиршоевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Хорогский государственный университет им. М. Назаршоева
г. Хорог
e-mail: yusufzoda.gulzorkhon@gmail.com

Заргаров Джамшед Джангиевич
старший преподаватель кафедры математического анализа
Хорогского государственного университета им. М. Назаршоева
г. Хорог
e-mail: jamshed-80@mail.ru

Ссылка на статью: М.Ш. Шабозов, Г.А. Юсупов, Дж.Дж. Заргаров. О наилучшей совместной полиномиальной аппроксимации функций и их производных в пространствах Харди // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 239-254

English

M.Sh. Shabozov, G.A. Yusupov, J.J. Zargarov. On the best simultaneous polynomial approximation of functions and their derivatives in Hardy spaces

In this paper, we solve extremal problems related to the best simultaneous polynomial approximation of functions analytic in the unit disk and belonging to the Hardy space $\mathscr{H}_2$. The problem of simultaneous approximation of periodic functions by trigonometric polynomials was considered by A.L. Garkavi in 1960. Then, in the same year, A.F. Timan considered this problem for classes of entire functions defined on the axis. We establish a number of exact theorems and calculate the exact values of the least upper bounds of the best simultaneous approximations of a function and its successive derivatives by polynomials and their corresponding derivatives on some classes of complex functions belonging to the Hardy space $\mathscr{H}_2$.

Keywords: best simultaneous approximation, analytic function, unit disk, modulus of continuity, extremal problem, angular boundary value, polynomial

Received February 28, 2021

Revised September 10, 2021

Accepted October 11, 2021

M.Sh. Shabozov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Tajik National University, Dushanbe, 734025. Republic of Tajikistan, e-mail: shabozov@mail.ru

G.A. Yusupov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Khorog State University by name M. Nazarshoev, Khorog, 734000. Republic of Tajikistan, e-mail: yusufzoda.gulzorkhon@gmail.com

J.J. Zargarov, Department of Mathematical Analysis, Khorog State University by name M. Nazarshoev, Khorog, 734000. Republic of Tajikistan, e-mail: jamshed-80@mail.ru

Cite this article as: M.Sh. Shabozov, G.A. Yusupov, J.J. Zargarov. On the best simultaneous polynomial approximation of functions and their derivatives in Hardy spaces, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 239–254.

[References -> on the "English" button bottom right]