Б.В. Семисалов, Г.А. Кузьмин. К вопросу о приближении гладких функций с погранслойными составляющими ... С. 111-124

УДК 517.518.8

MSC: 41A30 41A17 65D15

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-111-124

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект № 20-71-00071).

Получены оценки погрешности метода приближения гладких функций на отрезке, имеющих погранслойные составляющие. Для приближения использованы линейные комбинации функций специального вида, полученные из ряда Фурье с помощью замен переменных. Дан анализ трех вариантов таких замен. В качестве исходных положений использованы теорема Джексона и соотношения Колмогорова. Вследствие этого в оценках возникают нормы производной приближаемой функции. Разработанный метод позволяет существенно снизить порядок производной в этих оценках или значение коэффициента при ней по сравнению с оценками погрешности наилучшего полиномиального приближения. За счет этого скорость убывания погрешности новых приближений существенно выше, чем у полиномиальных. Получены выражения коэффициентов при нормах производных. Дан анализ асимптотики остаточных членов. Установлено хорошее соответствие теоретических результатов и экспериментальных данных, опубликованных ранее.

Ключевые слова: пограничный слой, ряд Фурье, приближения без насыщения, неполиномиальные приближения, замена переменной, оценки погрешности, высокий порядок сходимости

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Задорин А.И. Разностные схемы для задач с пограничным слоем. Омск: Изд-во ОмГУ, 2002. 113 с.

2.   Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Ч. 1. Новосибирск: Наука, 1998. 199 c.

3.   Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1992. 232 p.

4.   Лисейкин В.Д., Лиханова Ю.В., Шокин Ю.И. Разностные сетки и координатные преобразования для численного решения сингулярно возмущенных задач. Новосибирск: Наука, 2007. 311 c.

5.   Semisalov B.V., Kuzmin G.A. Modification of Fourier approximation for solving boundary value problems having singularities of boundary layer type // CEUR Workshop Proceedings. 2017. Vol. 1839. P. 406–422. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1839/MIT2016-p36.pdf 

6.   Бабенко К.И. О явлении насыщения в численном анализе // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, № 3. C. 505–508.

7.   Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

8.   Гавриков М.Б. Методы без насыщения в вычислительной математике // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2019. № 075. 40 с. doi: 10.20948/prepr-2019-75 

9.   Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials // Trans. Amer. Math. Soc. 1912. Vol. 13. P. 491–515. doi: 10.1090/S0002-9947-1912-1500930-2 

10.   Белых В.Н. О свойствах наилучших приближений $C^\infty$-гладких функций на отрезке вещественной оси (к феномену ненасыщаемости численных методов) // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 3. С. 483–499.

11.   Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М.: Наука, 1965. 424 c.

12.   Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.

13.   Trefethen L.N. Approximation theory and approximation practice. Philadelphia: SIAM, 2013. 318 p.

14.   Baltensperger R., Berrut J.-P., Noël B. Exponential convergence of a linear rational interpolant between transformed Chebyshev points // Math. Comp. 1999. Vol. 68, no. 227. P. 1109–1120. doi: 10.1090/S0025-5718-99-01070-4 

15.   Семисалов Б.В. Нелокальный алгоритм поиска решений уравнения Пуассона и его приложения // Журн. выч. математики и мат. физики. 2014. Т. 54, № 7. C. 1110–1135. doi: 10.7868/S0044466914020136 

Поступила 14.01.2021

После доработки 19.04.2021

Принята к публикации 26.04.2021

Семисалов Борис Владимирович
канд. физ.-мат. наук, страший науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН;
доцент кафедры диф. уравнений механико-математического факультета
Новосибирский государственный университет
г. Новосибирск
e-mail: ViBiS@ngs.ru

Кузьмин Георгий Андреевич
аспирант
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: kubgeom@mail.ru

Ссылка на статью: Б.В. Семисалов, Г.А. Кузьмин. К вопросу о приближении гладких функций с погранслойными составляющими // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 111-124

English

B.V. Semisalov, G.A. Kuzmin. On the question of approximation of smooth functions with boundary layer components

Error estimates are obtained for the method of approximation of smooth functions having boundary layer components on an interval. The method uses linear combinations of special functions obtained from the Fourier series by changes of variables. Three kinds of such variable changes are analyzed. Jackson’s theorem and Kolmogorov’s relations are used as underlying results. Consequently, norms of the derivative of the function being approximated appear in the estimates. The developed method enables one to significantly reduce the order of the derivative and the value of the coefficient at it in these estimates in comparison with the estimates of the error of the best polynomial approximation. Due to this, the rate of decay of the error for new approximations is significantly higher than that of polynomial ones. Expressions for the coefficients at the norms of derivatives are obtained. Analysis of the asymptotics of the remainder terms is given. A good agreement can be observed between the theoretical results and the experimental data published earlier.

Keywords: boundary layer, Fourier series, approximation without saturation, non-polynomial approximation, change of variables, error estimates, high order of convergence

Received January 14, 2021

Revised April 19, 2021

Accepted April 26, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 20-71-00071).

Boris Vladimirovich Semisalov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Sobolev Institute of Mathematics SB RAN, Novosibirsk, 630090 Russia; Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: ViBiS@ngs.ru

Georgy Andreevich Kuzmin, doctoral student, Sobolev Institute of Mathematics SB RAN, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: kubgeom@mail.ru

Cite this article as: B.V. Semisalov, G.A. Kuzmin. On the question of approximation of smooth functions with boundary layer components, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 111–124.

[References -> on the "English" button bottom right]