N. Huseyin, A. Huseyin, Kh.G. Guseinov. On the Robustness Property of the Control System Described by an Urysohn Type Integral Equation ... P. 263-270

MSC: 93C10, 45G15

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-263-270

In this paper a control system described by an Urysohn type integral equation with an integral constraint on the control functions is studied. It is assumed that the system is nonlinear with respect to the state vector and is affine with respect to the control vector. The control functions are chosen from a closed ball of the space $L_p$ $(p>1)$ with radius $r$. It is proved that the set of trajectories of the control system generated by all admissible control functions is Lipschitz continuous with respect to $r$ and is continuous with respect to $p$ as a set valued map. It is shown that the system's trajectory is robust with respect to the full consumption of the remaining control resource and every trajectory can be approximated by a trajectory generated by the control function with full control resource consumption.

Keywords: integral equation, control system, integral constraint, set of trajectories, robustness

REFERENCES

1.   Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston: Birkhauser, 1990, 461 p.

2.   Bakke V.L. A maximum principle for an optimal control problem with integral constraints. J. Optim. Theory Appl., 1974, vol. 13, pp. 32–55.

3.   Beletskii V.V. Ocherki o dvizhenii kosmicheskikh tel [Notes on the motion of celestial bodies]. M.: Nauka, 1972, 360 p.

4.   Brauer F. On a nonlinear integral equation for population growth problems, SIAM J. Math. Anal., 1975, vol. 69, pp. 312–317.

5.   Corduneanu C. Principles of differential and integral equations. Chelsea Publishing Co.: Bronx, N.Y., 1977, 205 p.

6.   Guseinov Kh.G, Nazlipinar A.S. On the continuity property of $L_p$ balls and an application. J. Math. Anal. Appl., 2007, vol. 335, pp. 1347–1359. doi: 10.1016/j.jmaa.2007.01.109 

7.   Gusev M.I., Zykov I.V. On extremal properties of the boundary points of reachable sets for control systems with integral constraints. Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, 2017, vol. 23, no. 1, pp. 103–115 (in Russian). doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-1-103-115 

8.   Huseyin N., Huseyin A., Guseinov Kh.G. Approximation of the set of trajectories of a control system described by the Urysohn integral equation. Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN. 2015, vol. 21, no. 2, pp. 59–72 (in Russian).

9.   Huseyin A., Huseyin N., Guseinov Kh.G. Approximation of the sections of the set of trajectories of the control system described by a nonlinear Volterra integral equation. Math. Model. Anal., 2015, vol. 20, no. 4, pp. 502–515. doi: 10.3846/13926292.2015.1070766 

10.   Huseyin N., Guseinov Kh.G., Ushakov V.N. Approximate construction of the set of trajectories of the control system described by a Volterra integral equation. Math. Nachr., 2015, vol. 288, no. 16, pp. 1891–1899. doi: 10.1002/mana.201300191 

11.   Kostousova E.K. State estimates of bilinear discrete-time systems with integral constraints through polyhedral techniques. IFAC Papers Online, 2018, vol. 51(32), pp. 245–250. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.389 

12.   Krasnoselskii M.A., Krein S.G. On the principle of averaging in nonlinear mechanics. Uspekhi Mat. Nauk., 1955, vol. 10, pp. 147–153 (in Russian).

13.   Krasnov M.L. Integral’nye uravneniya [Integral equations], M.: Nauka, Moscow, 1975, 303 p.

14.   Krasovskii N.N. Teoriya upravleniya dvizheniem. Lineinye sistemy [Theory of motion control. Linear systems]. Moscow: Nauka Publ, 1968, 476 p.

15.   Subbotin A.I., Ushakov V.N. Alternative for an encounter-evasion differential game with integral constraints on the players controls. J. Appl. Math. Mech., 1975, vol. 39, no. 3, pp. 367–375.

16.   Subbotina N.N., Subbotin A.I. Alternative for the encounter-evasion differential game with constraints on the momenta of the players controls. J. Appl. Math. Mech., 1975, vol. 39, no. 3, pp. 376–385.

Received March 25, 2021

Revised May 31, 2021

Accepted June 15, 2021

Nesir Huseyin, Doctor of Philosophy, Associate Professor, Faculty of Education, Sivas Cumhuriyet University, Turkey, e-mail: nhuseyin@cumhuriyet.edu.tr

Anar Huseyin, Doctor of Philosophy, Associate Professor, Faculty of Science, Sivas Cumhuriyet University, Turkey, e-mail: ahuseyin@cumhuriyet.edu.tr

Khalik Garakishi oglu Guseinov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Faculty of Science, Eskisehir Technical University, Turkey, e-mail: kguseynov@eskisehir.edu.tr

Cite this article as: N. Huseyin, A. Huseyin, Kh.G. Guseinov. On the Robustness Property of the Control System Described by Urysohn Type Integral Equation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 263–270.

Русский

Н. Гусейин, А. Гусейин, Х.Г. Гусейнов. О свойстве робастности управляемой системы, описываемой интегральным уравнением типа Урысона

В данной работе исследуется управляемая система, описываемая интегральным уравнением типа Урысона с интегральным ограничением на управляющие функции. Предполагается, что система нелинейна по фазовому вектору и аффинна по управляющему вектору. Управления выбираются из замкнутого шара пространства $L_p$ $(p>1)$ радиуса $r$ с центром в начале координат. Доказано, что множество траекторий управляемой системы, отвечающих всем допустимым управлениям, липшицево по $r$ и непрерывно по $p$ как многозначное отображение. Показано, что траектория системы робастна относительно полного использования оставшегося ресурса управления и любую траекторию системы можно аппроксимировать траекторией, соответствующей управлению с полным использованием ресурса.

Ключевые слова: интегральное уравнение, управляемая система, интегральное ограничение, множество траекторий, робастность