П.Г. Сурков. Вычисление в реальном времени дробной производной Капуто по зашумленным данным. Случай непрерывных измерений ... С. 238-248

УДК 517.977+517.23

MSC: 34A08, 49N45, 65D25, 93C40

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-238-248

Рассматривается одна из постановок “классических” задач математического анализа — задача нахождения производной функции. Значения функции измеряются непрерывно на конечном отрезке времени с некоторой погрешностью. На основании этих значений в работе предлагается алгоритм приближенного вычисления дробной производной Капуто на основе методов теории управления (по закону обратной связи). Сначала задача вычисления дробной производной заменяется обратной задачей для управляемой системы. Для полученной обратной задачи применяется метод динамического обращения, позволяющий построить алгоритм ее решения, устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений и работающий в режиме реального времени. Алгоритм базируется на двух ключевых элементах. Первый из них — это широко известные в теории гарантированного управления конструкции метода экстремального прицеливания Н. Н. Красовского. Второй — это локальная модификация классического метода регуляризации А. Н. Тихонова со сглаживающим функционалом. В работе получен порядок сходимости предложенного алгоритма. Рассмотрен численный пример, иллюстрирующий применение разработанной методики для вычисления дробных производных Капуто от конкретных функций в режиме реального времени.

Ключевые слова: дробная производная типа Капуто, реконструкция, неполная информация, оценка погрешности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo  J.J. Theory and applications of fractional differential equations. N Y: Elsevier Science, 2006. 540 p.

2.   Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 2. C. 137–148.

3.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 6 (312). С. 89–124.

4.   Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

5.   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

6.   Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве C(-∞,∞) // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1973. Т. 13, № 6. С. 1383–1389.

7.   Скорик Г.Г. О наилучшей оценке погрешности метода усредняющих ядер в задаче дифференцирования зашумленной функции // Изв. вузов. Математика. 2004. № 3. С. 76–80.

8.   Hanke M., Scherzer O. Inverse problems light: numerical differentiation // The American Mathematical Monthly. 2001. Vol. 108, iss. 6. P. 512–521. doi: 10.2307/2695705 

9.   Wang Y.B., Jia X.Z., Cheng J. A numerical differentiation method and its application to reconstruction of discontinuity // Inverse Problems. 2002. Vol. 18, iss. 6. P. 1461–1476. doi: 10.1088/0266-5611/18/6/301 

10.   Chartrand R. Numerical differentiation of noisy, nonsmooth data // ISRN Applied Mathematics. 2011. Vol. 2011. Article ID 164564. doi: 10.5402/2011/164564 

11.   Oldham K., Spanier J. The fractional calculus theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. N Y: Academic Press, Inc., 1974. 251 p.

12.   Murio D.A. On the stable numerical evaluation of Caputo fractional derivatives // Comp. Math. Appl. 2006. Vol. 51, iss. 9. P. 1539–1550. doi: 10.1016/j.cawa.2005.11.037 

13.   Pandolfi L. A Lavrent’ev-type approach to the on-line computation of Caputo fractional derivatives // Inverse problems. 2008. Vol. 24, iss. 1. Article ID 015014. doi: 10.1088/0266-5611/24/1/015014 

14.   Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в классе неупреждающих операторов // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 2. С. 192–199.

15.   Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: Dynamical solutions. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

16.   Максимов В.И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, № 3. С. 385–391.

17.   Melnikova L., Rozenberg V. One dynamical input reconstruction problem: Tuning of solving algorithm via numerical experiments // AIMS Mathematics. 2019. Vol. 4, iss. 3. P. 699–713. doi: 10.3934/math.2019.3.699 

18.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

19.   Сурков П.Г. Задача динамического восстановления правой части системы дифференциальных уравнений нецелого порядка // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 6. С. 865–874. doi: 10.1134/S0374064119060128 

20.   Максимов В.И. О вычислении производной функции, заданной неточно, с помощью законов обратной связи // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. С. 231–243. doi: 10.1134/S0371968515040172 

21.   Gomoyunov M.I. Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2018. Vol. 21, iss. 5. P. 1238–1261. doi: 10.1515/fca-2018-0066 

22.   Shao J., Meng F. Gronwall–Bellman type inequalities and their applications to fractional differential equations // Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013. P. 7. doi: 10.1155/2013/217641 

23.   Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2011. 292 c.

Поступила 5.03.2021

После доработки 2.04.2021

Принята к публикации 12.04.2021

Сурков Платон Геннадьевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: spg@imm.uran.ru

Ссылка на статью: П.Г. Сурков. Вычисление в реальном времени дробной производной Капуто по зашумленным данным. Случай непрерывных измерений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 238-248

English

P.G. Surkov. Real-time calculation of a Caputo fractional derivative from noisy data. The case of continuous measurements

We consider the problem of finding the derivative of a function, which is a classical problem of mathematical analysis. The values of the function are measured continuously over a finite time interval with some error. We propose an algorithm for the approximate calculation of a Caputo fractional derivative from the measurement values based on the methods of feedback control theory. First, the problem of calculating the fractional derivative is replaced by an inverse problem for a control system. Then the method of dynamic inversion is applied to the inverse problem, which allows us to construct a real-time solution algorithm stable under information noises and computational errors. The algorithm is based on N. N. Krasovskii’s extremal aiming method, which is widely known in the theory of guaranteed control, and on a local modification of A. N. Tikhonov’s classical regularization method with a smoothing functional. The order of convergence of the proposed algorithm is obtained, and a numerical example illustrating the application of the developed technique for calculating fractional Caputo derivatives of specific functions in real time is considered.

Keywords: Caputo fractional derivative, reconstruction, incomplete information, error estimate

Received March 5, 2021

Revised April 2, 2021

Accepted April 12, 2021

Surkov Platon Gennad’evich, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: spg@imm.uran.ru

Cite this article as: P.G. Surkov. Real-time calculation of a Caputo fractional derivative from noisy data. The case of continuous measurements, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 238–248.

[References -> on the "English" button bottom right]