М.С. Никольский. Линейные управляемые объекты с фазовыми ограничениями. Приближенное вычисление множеств достижимости ... С. 162-168

УДК 517.977

MSC: 42C10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-162-168

Линейные управляемые объекты интенсивно изучаются в современной теории управления. Важной динамической характеристикой таких объектов являются их множества достижимости. Например с помощью этих множеств в теории оптимального управления ставятся интересные для приложений задачи. Зная множества достижимости в различные моменты времени, можно грубо оценить динамические возможности изучаемого управляемого объекта. Отметим, что при отсутствии фазовых ограничений для вычисления этих множеств эффективным является аппарат опорных функций. При наличии же фазовых ограничений все становится сложнее. В статье развивается метод приближенного вычисления множеств достижимости для линейных управляемых объектов при наличии фазовых ограничений. Обосновывается сходимость этих приближений к искомому множеству достижимости в смысле метрики Хаусдорфа. Предполагается выпуклость и компактность фазового ограничения и множества, ограничивающего управления. Для построения приближений используются известная формула Коши и разбиения отрезка [0,T], на котором происходит движение, с равномерным шагом. При некотором усилении требований получена оценка скорости сходимости приближений к искомому множеству.

Ключевые слова: линейные управляемые объекты, фазовые ограничения, множества достижимости, формула Коши

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

2.   Васильев Ф. П. Методы оптимизации. Кн. 2. М.: МЦНМО, 2011.

3.   Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

4.   Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. М.: Высшая школа, 2001.

Поступила 2.02.2021

После доработки 15.02.2021

Принята к публикации 22.02.2021

Никольский Михаил Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
г. Москва
e-mail: mni@mi-ras.ru

Ссылка на статью: М.С. Никольский.  Линейные управляемые объекты с фазовыми ограничениями. Приближенное вычисление множеств достижимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 162-168

English

M.S. Nikol’skii. Linear controlled objects with state constraints. Approximate calculation of reachable sets

Linear controlled objects are intensively studied in modern control theory. An important dynamic characteristic of such objects is their reachable sets. For example, these sets are used in optimal control theory to formulate problems that are interesting for applications. Knowing reachable sets at different times, one can roughly estimate the dynamic capabilities of the controlled object under study. Note that in the absence of state constraints, the techniques of support functions are effective for calculating these sets. Under state constraints, the calculation becomes more complicated. We develop a method for the approximate calculation of reachable sets for linear controlled objects under constraints. The convergence of these approximations to the desired reachable set in the sense of the Hausdorff metric is proved. It is assumed that the state constraint and the set constraining the control are convex and compact. To construct approximations, we use the Cauchy formula and a uniform partition of the interval [0,T] on which the motion occurs. An estimate for the rate of convergence of approximations to the required set is obtained under some additional assumptions.

Keywords: linear controlled objects, phase constraints, reachable sets, Cauchy formula

Received February 2, 2021

Revised February 15, 2021

Accepted February 22, 2021

Mikhail Sergeevich Nikolskii, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Science, Moscow, 119991 Russia, e-mail: mni@mi-ras.ru

Cite this article as: M.S. Nikol’skii. Linear controlled objects with state constraints. Approximate calculation of reachable sets, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 162–168.

[References -> on the "English" button bottom right]