В.М. Левчук, Г.С. Сулейманова, Н.Д. Ходюня. Неассоциативные обертывающие алгебр Шевалле ... С. 91-100

УДК 512.554.3

MSC: 17B05, 17B30

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-91-100

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение 075-02-2020-1534/1).

Произвольную алгебру $R$ называем точной обертывающей алгебры Ли $L$, если $L$ изоморфна алгебре $R^{(-)}$, полученной заменой умножения в $R$ коммутированием $a*b: = ab- ba$. Мы исследуем точные обертывающие алгебры некоторых подалгебр алгебры Шевалле над полем $K$, ассоциированной с неразложимой системой корней $\Phi$. Структурные константы базы Шевалле этой алгебры определяет их выбор с известным произволом для нильтреугольной подалгебры $N\Phi(K)$ с базой $\{e_r\ | \ r
\in \Phi^+ \}$. Построенные в 2018 г. точные обертывающие  алгебры $R$ для $N\Phi (K)$ зависят от этого выбора. Введено понятие стандартной обертывающей алгебры. Для типа $A_{n-1}$ одну из точных обертывающих $R$ представляет алгебра $NT(n, K)$ нильтреугольных $n\times n$-матриц над $K$. Стандартность $R$ в этом случае дает теорема Р. Дюбиша и С. Перлиса (1951) об идеалах алгебры $NT(n, K)$. В статье доказано, что ассоциативная точная обертывающая алгебра $R$ алгебры Ли $N\Phi(K)$ типа $A_{n-1}\ (n> 3)$, с точностью до перехода к противоположной алгебре $R^{(op)}$, единственна и изоморфна алгебре $NT(n,K)$. Описаны стандартные обертывающие алгебры $R$. Доказано существование стандартной обертывающей $R$ для алгебр Ли $N\Phi(K)$ всех типов $\Phi$, исключая типы $D_{n}\ (n\geq 4)$ и $E_{n}\ (n=6,7,8)$.

Ключевые слова: алгебра Ли, точная обертывающая алгебра, алгебра Шевалле,  нильтреугольная подалгебра, стандартный идеал

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы. Москва: Мир, 1974. с. 152.

2.   Левчук В.М. Нильтреугольная подалгебра алгебры Шевалле: обертывающая алгебра, идеалы и автоморфизмы // Докл. Акад. наук. 2018. Т. 478, № 2. С. 137–140.

3.   Chevalley C. Sur certain groups simples //  T hoku Math. J. 1955. Vol. 7, no. 1-2. P. 14–66. doi: 10.2748/tmj/1178245104 

4.   Carter R. Simple groups of Lie type. N Y: Wiley and Sons, 1972. 331 p.

5.   Dubish R., Perlis S. On total nilpotent algebras // Amer. J. Math. 1951. Vol. 73, no. 3. P. 439–452.

6.   Egorychev G.P., Levchuk V.M. Enumeration in the Chevalley algebras // ACM SIGSAM Bulletin. 2001. Vol. 35, no. 2. P. 20–34.

7.   Levchuk V. M., Suleimanova G. S. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type // J. Algebra. 2012. Vol. 349, no. 1. P. 98–116. doi: 10.1016/j.algebra.2011.10.025 

8.   Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969. 376 c.

9.   Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле //  Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 3. С. 315–338.

10.   Hodyunya N.D. Enumerations of ideals in niltriangular subalgebra of Chevalley algebras // J. SFU Math. Phys. 2018. Vol. 11, no. 3. P. 271–277. doi: 10.17516/1997-1397-2018-11-3-271-277 

Поступила 11.12.2019

После доработки 11.05.2020

Принята к публикации 3.08.2020

Левчук Владимир Михайлович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой алгебры и математической логики
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: vlevchuk@sfu-kras.ru

Сулейманова Галина Сафиуллановна
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры ПИМиЕД
Хакасский технический институт —
филиал Сибирского федерального университета
г. Абакан
e-mail: suleymanova@list.ru

Ходюня Николай Дмитриевич
аспирант
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: nkhodyunya@gmail.com

Ссылка на статью: В.М. Левчук, Г.С. Сулейманова, Н.Д. Ходюня. Неассоциативные обертывающие алгебр Шевалле // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 91-100

English

V.M. Levchuk, G.S. Suleimanova, N.D. Khodyunya. Nonassociative enveloping algebras of Chevalley algebras

An algebra $R$ is said to be an  exact enveloping algebra for a Lie algebra $L$ if $L$ is isomorphic to the algebra $R^{(-)}$ obtained by replacing the multiplication in $R$ by the commutation: $a*b:= ab- ba$. We study exact enveloping algebras of certain subalgebras of a Chevalley algebra over a field $K$ associated with an indecomposable root system $\Phi$. The structure constants of the Chevalley basis of this algebra are chosen with a certain arbitrariness for the niltriangular subalgebra $N\Phi(K)$ with the basis $\{e_r\ |\ r\in\Phi^+\}$. The exact enveloping algebras $R$ for $N\Phi(K)$, which were found in 2018, depend on this choice. The notion of standard enveloping algebra is introduced. For the type $A_{n-1}$, one of the exact enveloping algebras $R$ is the algebra $NT(n,K)$ of all niltriangular $n\times n$ matrices over $K$. The theorem of R. Dubish and S. Perlis on the ideals of $NT(n,K)$ states that $R$ is standard in this case. We prove that an associative exact enveloping algebra $R$ of a Lie algebra $NT(n,K)$ of type $A_{n-1}$ $(n>3)$ is unique and isomorphic to $NT(n,K)$ up to passing to the opposite algebra $R^{({\rm op})}$. Standard enveloping algebras $R$ are described. The existence of a standard enveloping algebra is proved for the Lie algebras $N\Phi(K)$ of all types excepting $D_{n}$ $(n\geq 4)$ and $E_{n}$ $(n=6,7,8)$.

Keywords: Lie algebra, exact enveloping algebra, Chevalley algebra, niltriangular subalgebra, standard ideal

Received December 11, 2019

Revised May 12, 2020

Accepted August 3, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the project for the establishment and development of regional centers for mathematical research and education (agreement no. 075-02-2020-1534/1).

Vladimir Mikhailovich Levchuk, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: vlevchuk@sfu-kras.ru

Galina Safiullanovna Suleimanova, Dr. Phys.-Math. Sci., Khakass Technical Institute — Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: suleymanova@list.ru

Nikolay Dmitrievich Khodyunya, doctoral student, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: nkhodyunya@gmail.com

Cite this article as: V.M. Levchuk, G.S. Suleimanova, N.D. Khodyunya. Nonassociative enveloping algebras of Chevalley algebras, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 91–100.

[References -> on the "English" button bottom right]