А.В. Ласунский. Об уточнении оценок показателей Ляпунова одного класса линейных неавтономных систем разностных уравнений ... С. 84-90

УДК 517.925.51

MSC: 39A30, 39A22

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-84-90

Получена оценка нормы квадратной матрицы $A^{t}$ порядка $n$: $$
\|A^{t}\|\leq \sum^{n-1}_{k=0}C^{k}_{t}\gamma^{t-k}(\gamma+\|A\|)^{k},\quad t\geq n-1,
$$ где $C^{k}_{t}$ - биномиальный коэффициент; $\gamma=\max\limits_{i}|\lambda_{i}|;\  \lambda_{i}$ - собственные числа матрицы $A$. С помощью этой оценки методом замораживания получены уточнения констант в оценке сверху для старшего $\Lambda$ и в оценке снизу для младшего $\lambda$ показателей системы $x(t+1)=A(t)x(t),\  x\in \mathbb R^{n},\  t\in \mathbb Z^{+}$ с вполне ограниченной матрицей $A(t)$. Предполагается, что  матрицы $A(t)$   и  $A^{-1}(t)$  для любых $t,s\in\mathbb Z^{+}$ удовлетворяют неравенствам $\|A(t)-A(s)\|\leq\delta|t-s|^{\alpha},\ \|A^{-1}(t)-A^{-1}(s)\|\leq\delta|t-s|^{\alpha}$ с некоторыми постоянными $0<\alpha\leq 1$  и $\delta>0$. На примере показано, что постоянные $\gamma$ и $\delta$, вообще говоря, связаны между собой.

Ключевые слова: оценки показателей Ляпунова, метод замораживания для дискретных систем

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Kuznetsov N.V., Alexeeva T.A., Leonov G.A. Invariance of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension for regular and irregular linearizations // Nonlinear Dyn. 2016. Vol. 85. P. 195–201. doi: 10.1007/s11071-016-2678-4 

2.   Czornik A., Nawrat A. On new estimates for Lyapunov exponents of discrete time varying linear systems // Automatica. 2010. Vol. 46, no. 4. P. 775–778. doi: 10.1016/j.automatica.2010.01.014 

3.   Czornik A., Mokry P., Nawrat A. On the sigma exponent of discrete linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2010. Vol. 55, no. 6. P. 1511–1515. doi: 10.1109/TAC.2010.2045699 

4.   Czornik A., Nawrat A., Niezabitowski M. On the Lyapunov exponents of a class of second-order discrete time linear systems with bounded perturbations // Dynamical Systems. 2013. Vol. 28, no. 4. P. 473–483. doi: 10.1080/14689367.2012.748718 

5.   Cергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 11. С. 1573.

6.   Cергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия математическая. 2012. Т. 6, № 1. С. 149—172. doi: 10.4213/im5035 

7.   Ласунский А.В. Оценки решений линейных и квазилинейных систем в неавтономном случае // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 2. C. 177–185.

8.   Замковая Л.Д. К методу замораживания для дискретных систем // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 4. C. 697–704.

9.   Замковая Л.Д. Оценки показателей экспоненциального роста решений некоторых систем // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 11. C. 2008–2010.

10.   Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Москва: Физматгиз, 1958. 274 с.

11.   Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. Москва: Наука, 1966. 576 с.

12.   Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006. 319 с.

13.   Ласунский А.В. Устойчивость и собственные числа линейных неавтономных систем разностных и дифференциальных уравнений // Математика в высшем образовании. 2010. № 8. C. 37–40.

Поступила 28.04.2020

После доработки 16.05.2020

Принята к публикации 30.06.2020

Ласунский Александр Васильевич
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры прикладной математики и информатики
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого
г. Великий Новгород
e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru

Ссылка на статью: А.В. Ласунский. Об уточнении оценок показателей Ляпунова одного класса линейных неавтономных систем разностных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 84-90

English

A.V. Lasunskii. Refinement of estimates for the Lyapunov exponents of a class of linear nonautonomous systems of difference equations

We obtain an estimate for the norm of an $n$th-order square matrix $A^{t}$: $$ \|A^{t}\|\leq \sum^{n-1}_{k=0}C^{k}_{t}\gamma^{t-k}(\gamma+\|A\|)^{k},\quad t\geq n-1, $$ where $C^{k}_{t}$ are the binomial coefficients, $\gamma=\max\limits_{i}|\lambda_{i}|$, and $\lambda_{i}$ are the eigenvalues of~$A$. Based on this estimate and using the freezing method, we improve the constants in the upper and lower estimates for the highest and lowest exponents, respectively, of the system $ x(t+1)=A(t)x(t),\ x\in \mathbb R^{n},\ t\in \mathbb Z^{+}, $ with a completely bounded matrix $A(t)$. It is assumed that the matrices $A(t)$ and $A^{-1} (t)$ satisfy the inequalities $ \|A(t)-A(s)\|\leq\delta|t-s|^{\alpha},\ \|A^{-1}(t)-A^{-1}(s)\|\leq\delta|t-s|^{\alpha} $ with some constants $0<\alpha\leq 1$ and $\delta>0$ for any $t,s\in\mathbb Z^{+}$. We give an example showing that the constants $\gamma$ and $\delta$ are generally related.

Keywords: estimates for Lyapunov exponents, freezing method for discrete systems

Received April 28, 2020

Revised May 16, 2020

Accepted Juny 30, 2020

Alexandr Vasil’evich Lasunskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Yaroslav-the-Vise Novgorod State University, Veliky Novgorod, 173003 Russia, e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru

Cite this article as: A.V. Lasunskii. Refinement of estimates for the Lyapunov exponents of a class of linear nonautonomous systems of difference equations, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 84–90.

[References -> on the "English" button bottom right]