Ф. Сунь, С. Йи, С.Ф. Каморников. Критерий субнормальности в конечной группе: редукция к простейшим бинарным разбиениям ... С. 211-218

УДК 512.542

MSC: 20D25, 20D35

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-211-218

В статье развивается критерий Виландта о субнормальности подгруппы в конечной группе. Для множества $\pi = \{p_1, p_2,\ldots,p_n \}$ и разбиения $\sigma = \{\{p_1\}, \{p_2\},\ldots, \{p_n\}, \{\pi\}^{'}\}$ доказано, что подгруппа $H$ $\sigma$-субнормальна в конечной группе $G$ тогда и только тогда, когда она $\{\{p_i\}, \{p_i\}^{'}\}$-субнормальна в $G$ для любого $i = 1,2,\ldots, n$. В частности, подгруппа $H$ субнормальна в $G$ тогда и только тогда, когда для любого простого числа $p$ она $\{\{p\}, \{p\}^{'}\}$-субнормальна в $\langle H,H^x \rangle$ для каждого элемента $x \in G$.

Ключевые слова: конечная группа, субнормальная подгруппа, $\sigma$-субнормальная подгруппа, простейшее бинарное разбиение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Wielandt H. Criterion of subnormality in finite groups // Math. Z. 1974. Vol. 138. P. 199–203. doi: 10.1007/BF01237117 

2.   Skiba A.N. On $\sigma$-subnormal and $\sigma$-permutable subgroups of finite groups // J. Algebra. 2015. Vol. 436. P. 1–16. doi: 10.1016/j.jalgebra.2015.04.010 

3.   Kleidman P.B. A proof of the Kegel-Wielandt conjecture on subnormal subgroups // Ann. Math. 1991. Vol. 133, no. 2. P. 369–428. doi: 10.2307/2944342 

4.   Kegel O.H. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. 1962. Vol. 78, no. 1. P. 205–221. doi: 10.1007/BF01195169 

5.   Wielandt H. Zusammengesetzte Gruppen: Holders Programm heute // Proc. Sympos. Pure Math. 1980. Vol. 37. P. 161–173. doi: 10.1090/pspum/037/604575 

6.   Kamornikov S.F. Permutability of subgroups and $\mathfrak{F}$-subnormality // Sib. Math. J. 1996. Vol. 37, no. 5. P. 936–949. doi: 10.1007/BF02110725 

7.   Lennox J.C., Stonehewer S.E. Subnormal subgroups of groups. Oxford: Clarendon Press, 1987. 270 p.

8.   Ballester-Bolinches A., Ezquerro L.M. Classes of finite groups. N Y: Springer, 2006. 385 p. doi: 10.1007/1-4020-4719-3 

9.   Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Белорусская наука, 2003. 256 p.

10.   Wielandt H.  Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // Math. Z. 1958. Vol. 69, no. 8. P. 463–465. doi: 10.1007/BF01187422 

11.   Baer R. Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen // Ann. Math. 1957. Vol. 133, no. 3. P. 256–270. doi: 10.1007/BF02547953 

12.   Guest S., Levy D. Criteria for solvable radical membership via p-elements // J. Algebra. 2014. Vol. 415. P. 88–111. doi: 10.1016/j.jalgebra.2014.06.003 

Поступила 4.06.2020

После доработки 30.06.2020

Принята к публикации 3.07.2020

Сунь Фенфен (Sun Fenfen)
Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, P. R. China
Чжэцзянский политехнический университет, г. Ханчжоу
e-mail: sun4624@163.com

Йи Сяолан (Yi Xiaolan)
Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, P. R. China
Чжэцзянский политехнический университет, г. Ханчжоу
e-mail: yixiaolan2005@126.com

Каморников Сергей Федорович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины, г. Гомель, Беларусь
e-mail: sfkamornikov@mail.ru

Ссылка на статью: Ф. Сунь, С. Йи, С.Ф. Каморников. Критерий субнормальности в конечной группе: редукция к простейшим бинарным разбиениям // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020.Т. 26, № 3. С. 211-218

English

F. Sun, X. Yi, S.F. Kamornikov. Criterion of subnormality in a finite group: Reduction to elementary binary partitions

Wielandt's criterion for the subnormality of a subgroup in a finite group is developed. For a set $\pi =\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$ and a partition $\sigma=\{\{p_1\},\{p_2\},\ldots,\{p_n\},\{\pi\}^{'}\}$, it is proved that a subgroup $H$ is $\sigma$-subnormal in a finite group $G$ if and only if it is $\{\{p_i\},\{p_i\}^{'}\}$-subnormal in $G$ for every $i=1,2,\ldots,n$. In particular, $H$ is subnormal in $G$ if and only if it is $\{\{p\},\{p\}^{'}\}$-subnormal in $\langle H,H^x\rangle$ for every prime $p$ and any element $x\in G$.

Keywords: finite group, subnormal subgroup, $\sigma$-subnormal subgroup, elementary binary partition

Received June 4, 2020

Revised June 30, 2020

Accepted July 3, 2020

Fenfen Sun, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, P. R. China, e-mail: sun4624@163.com

Xiaolan Yi, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, P. R. China, e-mail: yixiaolan2005@126.com

Sergei Fedorovich Kamornikov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Francisk Skorina Gomel State University, 246019, Gomel, Republic of Belarus. e-mail: sfkamornikov@mail.ru

Cite this article as: F. Sun, X. Yi, S.F. Kamornikov. Criterion of subnormality in a finite group: Reduction to elementary binary partitions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 211–218.

[References -> on the "English" button bottom right]