М.И. Гомоюнов, Н.Ю. Лукоянов. Построение решений задач управления линейными системами дробного порядка на основе аппроксимационных моделей ... С. 39-50

УДК 517.977

MSC: 49N05, 34A08

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-39-50

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 19-11-00105).

Рассматривается задача оптимального управления динамической системой, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто порядка α ∈ (0, 1). Промежуток времени процесса управления зафиксирован и конечен. Управляющие воздействия стеснены геометрическими ограничениями. Целью управления является минимизация заданного терминально-интегрального показателя качества. Предлагается следующий подход к построению решения. Сначала рассматриваемая задача сводится к вспомогательной задаче оптимального управления линейной системой первого порядка с сосредоточенными запаздываниями, которая аппроксимирует исходную систему. Затем вспомогательная задача редуцируется до задачи оптимального управления обыкновенной дифференциальной системой. На этой основе строится схема оптимального управления исходной системой по принципу обратной связи с использованием поводыря, роль которого играет аппроксимирующая система. При этом управление в аппроксимирующей системе формируется при помощи оптимальной позиционной стратегии управления из редуцированной задачи. Работоспособность развиваемого подхода иллюстрируется на задаче с показателем качества в виде нормы терминального состояния системы.

Ключевые слова: оптимальное управление, линейные системы, производные дробного порядка, аппроксимация, системы с запаздыванием, управление по принципу обратной связи

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2.   Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

3.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

4.   Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр систем с последействием // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, вып. 2. С. 300–311.

5.   Красовский Н.Н., Котельникова А.Н. Стохастический поводырь для объекта с последействием в позиционной дифференциальной игре // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 2. С. 97–104.

6.   Gomoyunov M.I. Solution to a zero-sum differential game with fractional dynamics via approximations // Dyn. Games Appl. 2019. P. 1–27. doi: 10.1007/s13235-019-00320-4 

7.   Сурков П.Г. Задача динамического восстановления правой части системы дифференциальных уравнений нецелого порядка // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 6. С. 865–874. doi: 10.1134/S037406411906012 

8.   Gomoyunov M.I. Approximation of fractional order conflict-controlled systems // Progr. Fract. Differ. Appl. 2019. Vol 5, № 2. P. 143–155. doi: 10.18576/PFDA/050205 

9.   Лукоянов Н.Ю., Решетова Т.Н. Задачи конфликтного управления функциональными системами высокой размерности // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62, вып. 4. С. 586–597.

10.   Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Оптимизация гарантии в функционально-дифференциальных системах с последействием по управлению // Прикл. математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 4. С. 515–525.

11.   Idczak D., Walczak S. On a linear-quadratic problem with Caputo derivative // Opuscula Math. 2016. Vol. 36, № 1. P. 49–68. doi: 10.7494/OpMath.2016.36.l.49 

12.   Kamocki R., Majewski M. Fractional linear control systems with Caputo derivative and their optimization // Optim. Control Appl. Meth. 2015. Vol. 36, № 6. P. 953–967. doi: 10.1002/oca.2150 

13.   Кубышкин В.А., Постнов С.С. Задача оптимального управления линейной стационарной системой дробного порядка в форме проблемы моментов: постановка и исследование // Автоматика и телемеханика. 2014. № 5. С. 3–17.

14.   Kaczorek T. Minimum energy control of fractional positive electrical circuits with bounded inputs // Circuits Syst. Signal Process. 2016. Vol. 35, iss. 6. P. 1815–1829. doi: 10.1007/s00034-015-0181-7 

15.   Matychyn I., Onyshchenko V. Optimal control of linear systems with fractional derivatives // Fract. Calc. Appl. Anal. 2018. Vol. 21, № 1. P. 134–150. doi: 10.1515/fca-2018-0009 

16.   Diethelm K. The analysis of fractional differential equations. Berlin: Springer, 2010. 247 p. doi: 10.1007/978-3-642-14574-2 

17.   Gomoyunov M.I. Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems // Frac. Calc. Appl. Anal. 2018. Vol. 21, № 5. P. 1238–1261. doi: 10.1515/fca-2018-0066 

18.   Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 4. С. 716–724.

19.    Репин Ю.М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29, вып. 2. С. 226–235.

20.   Куржанский А.Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 12. С. 2094–2107.

21.   Lukoyanov N.Yu., Plaksin A.R. On approximations of time-delay control systems // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48, iss. 25. P. 178–182. doi: 10.1016/j.ifacol.2015.11.080 

22.   Chavez J.P., Zhang Z., Liu Y. A numerical approach for the bifurcation analysis of nonsmooth delay equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2020. Vol. 83. doi: 10.1016/j.cnsns.2019.105095 

23.   Lukoyanov N.Yu., Gomoyunov M.I. Differential games on minmax of the positional quality index // Dyn. Games Appl. 2019. Vol. 9, iss. 3. P. 780–799. doi: 10.1007/s13235-018-0281-7 

Поступила 25.12.2019

После доработки 24.01.2020

Принята к публикации 27.01.2020

Гомоюнов Михаил Игоревич
канд. физ.-мат. наук
старший научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Лукоянов Николай Юрьевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН,
директор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: nyul@imm.uran.ru

Ссылка на статью: М.И. Гомоюнов, Н.Ю. Лукоянов. Построение решений задач управления линейными системами дробного порядка на основе аппроксимационных моделей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. С. 39-50.

English

M.I. Gomoyunov, N.Yu. Lukoyanov. Construction of solutions to control problems for fractional-order linear systems based on approximation models

We consider an optimal control problem for a dynamical system whose motion is described by a linear differential equation with the Caputo fractional derivative of order α ∈ (0, 1). The time interval of the control process is fixed and finite. The control actions are subject to geometric constraints. The aim of the control is to minimize a given terminal-integral quality index. In order to construct a solution, we develop the following approach. First, from the considered problem, we turn to an auxiliary optimal control problem for a first-order linear system with lumped delays, which approximates the original system. After that, the auxiliary problem is reduced to an optimal control problem for an ordinary differential system. Based on this, we propose a closed-loop scheme of optimal control of the original system that uses the approximating system as a guide. In this scheme, the control in the approximating system is formed with the help of an optimal positional control strategy from the reduced problem. The effectiveness of the developed approach is illustrated by a problem in which the quality index is the norm of the terminal state of the system.

Keywords: optimal control, linear systems, fractional-order derivatives, approximation, time-delay systems, closed-loop control

Received December 25, 2019

Revised January 24, 2020

Accepted January 27, 2020

Funding Agency: This work was supported by RSF (project no. 19-11-00105).

Mikhail Igorevich Gomoyunov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Nikolai Yur’evich Lukoyanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia,
e-mail: nyul@imm.uran.ru

Cite this article as: M.I.Gomoyunov, N.Yu.Lukoyanov. Construction of solutions to control problems for fractional-order linear systems based on approximation models, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 39–50.