Р. Габасов, А.И. Калинин, Ф.М. Кириллова, Л.И. Лавринович. К асимптотическим методам оптимизации квазилинейных систем управления ... С. 62-72

УДК 517.977

MSC: 4902

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-62-72

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при поддержке ГПНИ “Конвергенция-2020”, Беларусь.

Динамические системы, которые в своих математических моделях содержат малые параметры при нелинейностях, принято называть квазилинейными. Статья представляет обзор результатов, полученных для задач оптимизации квазилинейных динамических систем в Минской школе по оптимальному управлению. Рассмотрены задачи оптимального быстродействия, терминального управления с подвижным правым концом траекторий, управления минимальной силой и задачи минимизации интегральных квадратичных функционалов. В основе подхода к исследованию лежит идея специальной конечномерной параметризации оптимальных управлений. Вычисления при построении асимптотических приближений к оптимальным управлениям в рассмотренных квазилинейных задачах сводятся к решению базовых задач, которые, в отличие от исходных, являются задачами оптимизации линейных систем, интегрированию систем линейных дифференциальных уравнений, а также к нахождению корней невырожденных линейных алгебраических систем.

Ключевые слова: квазилинейные системы, малый параметр, асимптотические приближения, конечномерная параметризация, оптимальное управление, обратная связь

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Альбрехт Э.Г. Метод Ляпунова-Пуанкаре в задачах оптимального управления: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук. Свердловск, 1986. 280 с.

2.   Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. Москва: Машиностроение, 1968. 764 с.

3.   Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. Москва, 1935. 42 c.

4.   Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. Москва: Наука, 1973. 272 c.

5.   Габасов Р., Калинин А.И., Кириллова Ф.М. Алгоритм оптимизации квазилинейной системы управления // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, № 1. C. 22–26.

6.   Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. Москва: URSS, 2018. 256 с.

7.   Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 2: Задачи управления. Минск: Университетское, 1984. 1973. 207 c.

8.   Габасов Р., Калинин А.И., Кириллова Ф.М., Наумович Г.Н. Асимптотически оптимальный регулятор для квазилинейной системы // Докл. РАН. 1993. Т. 332, № 2. C. 138–141.

9.   Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Построение оптимальных управлений типа обратной связи в линейной задаче // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320, № 6. C. 1294–1299.

10.   Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. Москва: Наука, 1971. 508 c.

11.   Грудо Я.О., Калинин А.И. Асимптотический метод оптимизации квазилинейной системы с многомерными управлениями // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 12. C. 1604–1611.

12.   Грудо Я.О., Калинин А.И. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия для квазилинейной системы при евклидовом ограничении на управление // Автоматика и телемеханика. 2007. № 8. C. 106–115.

13.   Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия // Прикл. математика и механика. 1989. Т. 53, вып. 6. C. 880–889.

14.   Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. Минск: Экоперспектива, 2000. 183 с.

15.   Калинин А.И. Оптимизация квазилинейных систем управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1988. Т. 28, № 3. C. 325–334.

16.   Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения квазилинейной задачи оптимального быстродействия // Докл. АН БССР. 1988. Т. 32, № 3. C. 197–200.

17.   Калинин А.И. Метод возмущений для асимптотического решения квазилинейной задачи оптимального быстродействия // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 4. C. 585–594.

18.   Калинин А.И. Асимптотический метод решения квазилинейной задачи об управлении минимальной силой // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 3. C. 414–424.

19.   Калинин А.И. О проблеме синтеза оптимальных систем управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2018. Т. 58, № 3. C. 397–402.

20.   Калинин А.И., Лавринович Л.И. Применение метода возмущений к задаче минимизации интегрального квадратичного функционала на траекториях квазилинейной системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2014. № 2. C. 3–12.

21.   Калинин А.И., Лавринович Л.И. Асимптотический метод минимизации интегрального квадратичного функционала на траекториях линейной динамической системы // Докл. НАН Беларуси. 2018. Т. 62, № 5. С.  519–524.

22.   Калман Р. Об общей теории систем управления. // Тр. I Конгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961. C. 521–547.

23.   Квакернаак К.Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. Москва: Мир, 1977. 656 c.

24.   Кириллова Ф.М. О непрерывной зависимости решений одной задачи оптимального регулирования от начальных данных и параметров // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17, вып. 4. C. 141 — 146.

25.   Киселев Ю.Н. Асимптотика решения задачи оптимального быстродействия для систем управления близким к линейным // Докл. АН СССР. 1968. Т. 182, № 1. C. 31–34.

26.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. Москва: Наука, 1968. 476 с.

27.   Летов А.М. Математическая теория процессов управления. Москва: Наука, 1981. 256 с.

28.   Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. Москва: Наука, 1975. 528 с.

29.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 396 с.

30.   Субботин А.И. Об управлении движением квазилинейной системы // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 7. C. 1113–1126.

31.   Фельдбаум А.А. Основы теории автоматических систем. Москва: Наука, 1966. 624 c.

32.   Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д. Соколов Б.Н. Управление колебаниями. Москва: Наука, 1980. 384 с.

33.   Falb P.L., Jong J.L. Some successive approximation methods on control and oscillation theory. N Y; London: Acad. Press, 1969. 240 p.

Поступила 18.04.2019

После доработки 6.05.2019

Принята к публикации 13.05.2019

Габасов Рафаил
д-р физ.-мат. наук, профессор
Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь
e-mail: kirillova.f@yandex.by

Калинин Анатолий Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры методов оптимального управления
Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь
e-mail: kalininai@bsu.by

Кириллова Фаина Михайловна
д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент НАН Беларуси
Институт математики НАН Беларуси, г. Минск, Беларусь
e-mail: kirillova.f@yandex.by

Лавринович Леонид Иванович
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры методов оптимального управления
Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь
e-mail: lavrinovich@bsu.by

Ссылка на статью: Р. Габасов, А.И. Калинин, Ф.М. Кириллова, Л.И. Лавринович. К асимптотическим методам оптимизации квазилинейных систем управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 62-72

English

R. Gabasov, A.I. Kalinin, F.M. Kirillova, L.I. Lavrinovich. On asymptotic optimization methods for quasilinear control systems

Mathematical models of dynamical systems containing small parameters in nonlinearities are usually called quasilinear systems. We present a survey of results obtained for problems of optimization of quasilinear dynamical systems in the Minsk scientific school on optimal control. We consider time-optimal control problems, terminal control problems with variable right ends of trajectories, minimum force control problems, and problems of minimization of integral quadratic functionals. The research is based on the idea of a special finite-dimensional parameterization of optimal controls. The computation of asymptotic approximations to optimal controls in the quasilinear problems under consideration is reduced to solving some basic problems, which, unlike the original problems for quasilinear systems, are optimization problems for linear systems, to the integration of linear differential equations, and to finding roots of nonsingular linear algebraic systems.

Keywords: quasilinear systems, small parameter, asymptotic approximation, finite-dimensional parameterization, optimal control, feedback control

Received April 18, 2019

Revised May 6, 2019

Accepted May 13, 2019

Funding Agency: This work was supported by the National Program for Scientific Research of the Republic of Belarus “Convergence 2020.”

Rafail Gabasov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Belarusian State University, Minsk, 220030 Belarus, e-mail:kirillova.f@yandex.by

Anatoly Iosifovich Kalinin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Belarusian State University, Minsk, 220030 Belarus, e-mail: kalininai@bsu.by

Faina Mikhaylovna Kirillova, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member of the Belarus National Academy of Sciences, Institute of Mathematics of Belarus National Academy of Sciences, Minsk, 220030 Belarus, e-mail: kirillova.f@yandex.by

Leonid Ivanovich Lavrinovich, Cand. Phys.-Mat.  Sci.,Assoc. Prof., Belarusian State University, Minsk, 220030 Belarus, e-mail: lavrinovich@bsu.by

Cite this article as: R. Gabasov, A.I. Kalinin, F.M. Kirillova, L.I. Lavrinovich. On asymptotic optimization methods for quasilinear control systems., Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 62–72.