В.В. Гороховик, А.С. Тыкун. Абстрактная выпуклость функций относительно множества липшицевых (вогнутых) функций ... С. 73-85

УДК 517.27

MSC: 52A01,49J52; 49K27; 26B40

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-73-85

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена в рамках Государственной программы научных исследований Республики Беларусь на 2016– 2020 годы “Конвергенция-2020” (проект 1.4.01)

Настоящая работа посвящена абстрактной ${\mathcal H}$-выпуклости функций (${\mathcal H}$ - заданное множество элементарных функций) и ее реализации в случае, когда в качестве ${\mathcal H}$ рассматриваются пространство липшицевых функций и множество вогнутых липшицевых функций. В работе вводится новое понятие регулярно ${\mathcal H}$-выпуклых функций. Так названы функции, которые являются верхними огибающими множества максимальных (в смысле поточечного упорядочения) ${\mathcal H}$-минорант. Как обобщение понятия глобального субдифференциала выпуклой функции вводятся множество максимальных опорных ${\mathcal H}$-минорант к функции в заданной точке и множество нижних ${\mathcal H}$-опорных точек функции, в терминах которых затем устанавливаются достаточные, а также необходимые условия глобального минимума функции. Во второй части работы абстрактные понятия ${\mathcal H}$-выпуклости реализуются в конкретных случаях, когда функции определены на метрическом или нормированном пространстве $X$, а в качестве множества элементарных функций ${\mathcal{H}}$ рассматривается множество ${\mathcal{L}(X,{\mathbb R})}$ липшицевых или множество ${\mathcal{L}\widehat{C}(X,{\mathbb R})}$ вогнутых липшицевых функций. Важным результатом данной части статьи является доказательство того, что для полунепрерывной снизу функции, которая, кроме того, ограничена снизу липшицевой функцией, множество нижних ${\mathcal{L}}$-опорных точек и множество нижних ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-опорных точек совпадают и являются плотными в ее эффективной области. Данные результаты распространяют на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда - Рокафеллара о существовании субдифференциала для выпуклых полунепрерывных снизу функций и восходят к одному из важнейших результатов классического выпуклого анализа - теореме Бишопа - Фелпса о плотности опорных точек в границе замкнутого выпуклого множества.

Ключевые слова: абстрактная выпуклость, опорные миноранты, опорные точки, глобальный минимум, полунепрерывные фунции, липшицевы функции, вогнутые липшицевы функции, плотность опорных точек.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Singer I. Abstract Convex Analysis. N Y: Wiley-Interscience Publ., 1997. 491 p. ISBN: 978-0471160151 .

2.   Солтан В.П. Введение в аксиоматическую теорию выпуклости. Кишинев: Штиинца, 1984. 223 с.

3.   Кутателадзе C.С., Рубинов А.М. Двойственность Минковского и ее приложения // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27, вып. 3(165). С. 127–176.

4.   Кутателадзе C.С., Рубинов А.М. Двойственность Минковского и ее приложения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1976. 254 с.

5.   Pallaschke D., Rolewicz S. Foundations of mathematical optimization (Convex analysis without linearity). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. 596 p. doi: 10.1007/978-94-017-1588-1 

6.   Rubinov A.M. Abstract convexity and global optimization. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000. 490 p. ISBN 978-1-4757-3200-9 .

7.   Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 399 с.

8.   Brondsted A., Rockafellar R.T. On the subdifferentiability of convex functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 16, no. 4. P. 605–611. doi: 10.2307/2033889 

9.   Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004. 416 с.

10.   Bishop E., Phelps R.R. The support functionals of convex sets // Convexity / ed. V. Klee: Proc. of Symposia in Pure Mathematics. Vol. VII. Providence, Rhode Island: American Math. Soc., 1963. P. 27–35. doi: 10.1090/pspum/007/0154092 

11.   Гороховик В.В. О представлении полунепрерывных сверху функций, определенных на бесконечномерных нормированных пространствах, в виде нижних огибающих семейств выпуклых функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 1. C. 88–102. doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-1-88-102 

12.   Gorokhovik V.V. Minimal convex majorants of functions and Demyanov–Rubinov exhaustive super(sub)differentials // Optimization. J. Math. Programming and Operations Research. Published online: 09 Sep 2018. doi: 10.1080/02331934.2018.1518446 

13.   Gorokhovik V.V. Demyanov–Rubinov subdifferentials of real-valued functions // Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (Dedicated to the memory of V.F. Demyanov) (CNSA) / ed. Polyakova: Proc. Сonf. Piscataway, New Jersey: Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2017. P. 122–125. doi: 10.1109/cnsa.2017.7973962А

14.   Ekeland I. Nonconvex minimization problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 1, no. 3. P. 432–467.

15.   Penot J.P. Calculus without derivatives. N Y: Springer, 2013. 524 p. doi: 10.1007/978-1-4614-4538-8 

16.   Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Едиториал УРСС, 2003. 176 с. SBN-13: 978-0821835258 .

Поступила 20.04.2019

После доработки 15.05.2019

Принята к публикации 20.05.2019

Гороховик Валентин Викентьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
чл.-корр. НАН Беларуси
зав. отделом
Институт математики НАН Беларуси,
г. Минск
e-mail: gorokh@im.bas-net.by

Тыкун Александр Станиславович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Белорусский государственный университет
механико-математический факультет
г. Минск
e-mail: tykoun@bsu.by

Ссылка на статью: В.В. Гороховик, А.С. Тыкун. Абстрактная выпуклость функций относительно множества липшицевых (вогнутых) функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 73-85

English

V.V. Gorokhovik, A.S. Tykоun. Abstract convexity of functions with respect to the set of Lipschitz (concave) functions

The paper is devoted to the abstract ${\mathcal H}$-convexity of functions (where ${\mathcal H}$ is a given set of elementary functions) and its realization in the cases when ${\mathcal H}$ is the space of Lipschitz functions or the set of Lipschitz concave functions. We introduce the notion of regular ${\mathcal H}$-convex functions. These are functions representable as the upper envelopes of the set of their maximal (with respect to the pointwise ordering) ${\mathcal H}$-minorants. As a generalization of the global subdifferential of a convex function, we introduce the set of maximal support ${\mathcal H}$-minorants at a point and the set of lower ${\mathcal H}$-support points. Using these tools, we formulate necessary as well as sufficient conditions for global minima of nonsmooth functions. In the second part of the paper, the abstract notions of ${\mathcal H}$-convexity are realized in the specific cases when functions are defined on a metric or normed space $X$ and the set of elementary functions is the space ${\mathcal L}(X,{\mathbb{R}})$ of Lipschitz functions or the set ${\mathcal L}\widehat{C}(X,{\mathbb{R}})$ of Lipschitz concave functions, respectively. An important result of this part of the paper is the proof of the fact that, for a lower semicontinuous function bounded from below by a Lipschitz function, the set of its lower ${\mathcal L}$-support points and the set of lower ${\mathcal L}\widehat{C}$-support points coincide and are dense in the effective domain of the function. These results extend the known Brondsted-Rockafellar theorem on the existence of a subdifferential of convex lower semicontinuous functions to the wider class of lower semicontinuous functions and go back to the Bishop-Felps theorem on the density of support points in the boundary of a closed convex set, which is one of most important results of classical convex analysis.

Keywords: abstract convexity, support minorants, support points, global minimum, semicontinuous functions, Lipschitz functions, concave Lipschitz functions, density of support points

Received April 20, 2019

Revised May 15, 2019

Accepted May 20, 2019

Funding Agency: This work was supported by the National Program for Scientific Research of the Republic of Belarus for 2016–2020 “Convergence 2020” (project no. 1.4.01).

Valentin Vikent’evich Gorokhovik, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of NAS of Belarus, Prof., Institute of Mathematics, The National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: gorokh@im.bas-net.by

Alexander Stanislavovich Tykoun, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Belarusian State University, Minsk, 220030 Belarus, e-mail: tykoun@bsu.by

Cite this article as: V.V. Gorokhovik, A.S. Tykoun. Abstract convexity of functions with respect to the set of Lipschitz (concave) functions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 73–85.