В.А. Кыров. Аналитическое вложение трехмерных симплициальных геометрий ... C. 125-136

УДК 517.912 + 514.1

MSC: 53D05,39B22

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-125-136

Для современной математики большое значение имеет изучение геометрий максимальной подвижности. Максимальная подвижность для $n$-мерной геометрии, задаваемой функцией $f$ пары точек, означает существование $n(n+1)/2$-мерной группы преобразований, оставляющей эту функцию инвариантной. Известно много геометрий максимальной подвижности (геометрия Евклида, симплектическая, Лобачевского и т. д., но полной классификации таких геометрий нет. В данной статье методом вложения решается одна из таких классификационных задач. Суть этого метода состоит в следующем: по функции пары точек $g$ трехмерной геометрии находим все невырожденные функции $f$ пары точек четырехмерных геометрий, являющиеся инвариантами группы Ли преобразований размерности 10. В этой статье $g$ - это невырожденные функции пары точек трех симплициальных трехмерных геометрий: $$
g = \dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j,\quad
g = \ln\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j} + 2z_i+2z_j,\quad
g = \text{arctg}\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j.$$
Данные геометрии локально максимально подвижны, т. е. их группы движений шестимерны. Задача этой работы сводится к решению аналитическими методами специальных функциональных уравнений, которые ищутся в виде рядов Тейлора. Для перебора различных вариантов применяется пакет математических программ Maple 15. В результате получаются только вырожденные функции пары точек, которые не задают геометрии максимальной подвижности.

Ключевые слова: функциональное уравнение, геометрия максимальной подвижности, группа движений, симплициальная геометрия

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Лев В.Х. Трехмерные геометрии в теории физических структур // Вычисл. системы. 1988. № 125. С. 90–103.

2.   Кыров В.А., Богданова Р.А. Группы движений некоторых трехмерных геометрий максимальной подвижности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 2. С. 412–421. doi: 10.17377/smzh.2018.59.215 

3.   Mikhailichenko G.G. The mathematical basics and results of the theory of physical structures / Gorno-Altaisk State University. Gorno-Altaisk, 2012. 140 p. (Available at: https://arxiv.org/pdf/1602.02795 )

4.   Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 657–672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057 

5.   Кыров В.А. Аналитический метод вложения многомерных псевдоевклидовых геометрий // Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. С. 741–758. doi: 10.17377/semi.2018.15.060 

6.   Кыров В.А. Вложение многомерных особых расширений псевдоевклидовых геометрий // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. T 4, № 3. С. 408-420. doi: 10.24411/2500-0101-2018-13403 

7.   Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

8.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгис, 1963. 540 с.

9.   Дьяконов В. Maple 10/11/12/13/14 в математических вычислениях. М.: ДМС, 2014. 603 c.

10.  Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 c.

Поступила 11.01.2019

После доработки 21.03.2019

Принята к публикации 25.03.2019

Кыров Владимир Александрович
канд. физ.-мат. наук, доцент
кафедра математики, физики и информатики
Горно-Алтайский государственный университет
г. Горно-Алтайск
e-mail: kyrovVA@yandex.ru

Ссылка на статью: В.А. Кыров. Аналитическое вложение трехмерных симплициальных геометрий // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 125-136.

English

V.A. Kyrov. Analytic embedding of three-dimensional simplicial geometries

The study of maximum mobility geometries is of great importance for modern mathematics. The maximum mobility of an $n$-dimensional geometry defined by a function $f$ of a pair of points means the existence of an $n(n+1)/2$-dimensional transformation group fixing this function. There are a number of known maximum mobility geometries (Euclidean, symplectic, Lobachevskian, etc.), but there is no complete classification of such geometries. In this paper, we solve one of such classification problems by the embedding method. The essence of the method is as follows: from the function $g$ of a pair of points of a three-dimensional geometry, we find all nondegenerate functions $f$ of a pair of points of four-dimensional geometries that are invariants of the Lie group of transformations of dimension 10. In this paper, $g$ are nondegenerate functions of a pair of points of three simplicial three-dimensional geometries: $$ g = \dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j, \quad  g = \ln\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j} + 2z_i+2z_j, \quad g = \text{arctan}\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j.$$
These geometries are locally maximally mobile, which means that their groups of motions are six-dimensional. The problem solved in this paper is reduced to the solution of special functional equations by analytical methods. The solutions are sought in the form of Taylor series. The Maple 15 mathematical software package is used for the enumeration of various options. As a result, we obtain only degenerate functions of a pair of points, which do not define a maximum mobility geometry.

Keywords: functional equation, maximum mobility geometry, group of motions, simplicial geometry

Received January 11, 2019

Revised March 21, 2019

Accepted March 25, 2019

Vladimir Aleksandrovich Kyrov, Cand. Phys.-Math. Sci., Gorno-Altaisk State University, 649000, Russia, e-mail: kyrovVA@yandex.ru

Cite this article as: V.A.Kyrov. Analytic embedding of three-dimensional simplicial geometries, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 125–136.

[References -> on the "English" button bottom right]