А.А. Ковалевский. Свойства интегрируемости функций с заданным поведением функций распределения и некоторые приложения ... C. 78-92

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.518, 517.956

MSC: 26B35, 35J25, 35J60

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-78-92

Работа выполнена при частичной поддержке Программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (соглашение с Минобрнауки РФ 02.A03.21.0006 от 27 августа 2013 г.).

Установлено, что если функция распределения измеримой функции $v$, заданной на ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), при достаточно больших $k$ удовлетворяет оценке ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant k^{-\alpha}\varphi(k)/\psi(k)$, где $\alpha>0$, $\varphi\colon[1,+\infty)\to\mathbb R$ - неотрицательная невозрастающая измеримая функция такая, что интеграл функции $s\to\varphi(s)/s$ по $[1,+\infty)$ конечен, и $\psi\colon[0,+\infty)\to\mathbb R$ - положительная непрерывная функция с некоторыми дополнительными свойствами, то $\vert v\vert^\alpha\psi(\vert v\vert)\in L^1(\Omega)$. При этом функция $\psi$ может быть как ограниченной, так и неограниченной. Даны следствия соответствующих теорем для некоторых конкретных отношений функций $\varphi$ и $\psi$. В частности, рассмотрен случай, когда функция распределения измеримой функции $v$ при достаточно больших $k$ удовлетворяет оценке ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant Ck^{-\alpha}(\ln k)^{-\beta}$, где $C,\alpha>0$ и $\beta\geqslant 0$. При этом усилен результат, полученный автором ранее для $\beta>1$, и в целом показано, как отличаются свойства интегрируемости функции $v$ в зависимости от того, какому из промежутков, $[0,1]$ или $(1,+\infty)$, принадлежит $\beta$. Рассмотрен также случай, когда функция распределения измеримой функции $v$ при достаточно больших $k$ удовлетворяет оценке ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant Ck^{-\alpha}(\ln\ln k)^{-\beta}$, где $C,\alpha>0$ и $\beta\geqslant 0$. Приведены примеры, показывающие точность полученных результатов в соответствующих шкалах классов, близких к $L^\alpha(\Omega)$. Наконец, даны приложения этих результатов к энтропийным и слабым решениям задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью из некоторых классов, близких к $L^1(\Omega)$ и определяемых с помощью логарифмической функции или ее двукратной композиции.

Ключевые слова: интегрируемость, функция распределения, нелинейные эллиптические уравнения, правая часть из классов, близких к $L^1$, задача Дирихле, слабое решение, энтропийное решение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Talenti G. Elliptic equations and rearrangements // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. Cl. Sci. (4). 1976. Vol. 3, no. 4. P. 697–718.

2.   B$\acute{\mathrm{e}}$nilan Ph., Boccardo L., Gallou$\ddot{\mathrm{e}}$t T., Gariepy R., Pierre M., Vazquez J.L. An $L^1$-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. Cl. Sci. (4). 1995. Vol. 22, no. 2. P. 241–273.

3.   Ковалевский А.А. О суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с правыми частями из классов, близких к $L^1$ // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 3. С. 375–385.

4.   Kovalevsky A.A. General conditions for limit summability of solutions of nonlinear elliptic equations with $L^1$-data // Nonlinear Anal. 2006. Vol. 64, no. 8. P. 1885–1895. doi: 10.1016/j.na.2005.08.008 

5.   Boccardo L., Gallouet T. Nonlinear elliptic equations with right hand side measures // Commun. Partial Diff. Eq. 1992. Vol. 17, no. 3–4. P. 641–655. doi: 10.1080/03605309208820857 

6.   Ковалевский А.А., Скрыпник И.И., Шишков А.Е. Сингулярные решения нелинейных эллиптических и параболических уравнений. Киев: Наукова думка, 2010. 499 с.

7.   Boccardo L., Gallouet T. $W^{1,1}_0$ solutions in some borderline cases of Calderon–Zygmund theory // J. Diff. Eq. 2012. Vol. 253, no. 9. P. 2698–2714. doi: 10.1016/j.jde.2012.07.003 

8.   Boccardo L., Gallouet T. Summability of the solutions of nonlinear elliptic equations with right hand side measures // J. Convex Anal. 1996. Vol. 3, no. 2. P. 361–365.

9.   Ковалевский А.А. Априорные свойства решений нелинейных уравнений с вырождающейся коэрцитивностью и $L^1$-данными // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. Т. 16. С. 47–67.

Поступила 16.10.2018

После доработки 1.11.2018

Принята к публикации 5.11.2018

Ковалевский Александр Альбертович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: alexkvl71@mail.ru

Ссылка на статью:  Ковалевский А.А.  Свойства интегрируемости функций  с заданным поведением функций распределения  и некоторые приложения  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 78-92.

Cite this article as:  A.A. Kovalevsky. Integrability properties of functions with a given behavior of distribution functions and some applications, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp.  78–92. 

English

A.A. Kovalevsky. Integrability properties of functions with a given behavior of distribution functions and some applications

We establish that if the distribution function of a measurable function $v$ given on a bounded domain $\Omega$ of $\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$) satisfies, for sufficiently large $k$, the estimate ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant k^{-\alpha}\varphi(k)/\psi(k)$, where $\alpha>0$, $\varphi\colon[1,+\infty)\to\mathbb R$ is a nonnegative nonincreasing measurable function such that the integral of the function $s\to\varphi(s)/s$ over $[1,+\infty)$ is finite, and $\psi\colon[0,+\infty)\to\mathbb R$ is a positive continuous function with some additional properties, then $\vert v\vert^\alpha\psi(\vert v\vert)\in L^1(\Omega)$. In so doing, the function~$\psi$ can be bounded or unbounded. We give corollaries of the corresponding theorems for some specific ratios of the functions $\varphi$ and $\psi$. In particular, we consider the case where the distribution function of a measurable function $v$ satisfies, for sufficiently large $k$, the estimate ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant Ck^{-\alpha}(\ln k)^{-\beta}$ with $C,\alpha>0$ and $\beta\geqslant 0$. In this case, we strengthen our previous result for $\beta>1$ and, on the whole, we show how the integrability properties of the function $v$ differ depending on which of the intervals $[0,1]$ or $(1,+\infty)$ contains $\beta$. We also consider the case where the distribution function of a measurable function $v$ satisfies, for sufficiently large $k$, the estimate ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant Ck^{-\alpha}(\ln\ln k)^{-\beta}$ with $C,\alpha>0$ and $\beta\geqslant 0$. We give examples showing the accuracy of the obtained results in the corresponding scales of classes close to~$L^\alpha(\Omega)$. Finally, we give applications of these results to entropy and weak solutions of the Dirichlet problem for nonlinear elliptic second-order equations with right-hand side in some classes close to~$L^1(\Omega)$ and defined by the logarithmic function or its double composition.

Keywords: integrability, distribution function, nonlinear elliptic equations, right-hand side in classes close to $L^1$, Dirichlet problem, weak solution, entropy solution

Received October 16, 2018

Revised November 1, 2018

Accepted November 5, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Aleksandr Al’bertovich Kovalevsky, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: alexkvl71@mail.ru

[References -> on the "English" button bottom right]