М.И. Гомоюнов. Экстремальный сдвиг на сопутствующие точки в позиционной дифференциальной игре для системы дробного порядка ... C. 11-34

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.977

MSC: 49N79, 34K37

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-11-34

Рассматривается антагонистическая дифференциальная игра двух лиц. Движение динамической системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто порядка $\alpha \in (0, 1).$ Показатель качества состоит из двух слагаемых: первое зависит от движения системы, реализовавшегося к терминальному моменту времени, второе включает в себя интегральную оценку реализаций управлений игроков. В рамках позиционного подхода проведены формализации рассматриваемой дифференциальной игры в классах "стратегии - контрстратегии", "контрстратегии - стратегии" и, при дополнительном условии седловой точки для маленькой игры, "стратегии - стратегии". В каждом из случаев доказано существование цены и седловой точки игры. При этом основу доказательств составляет подходящая модификация метода экстремального сдвига на сопутствующие точки, учитывающая специфику систем дробного порядка.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение дробного порядка, производная Капуто, дифференциальная игра, цена игры, позиционная стратегия, контрстратегия, экстремальный сдвиг

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2.   Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

3.   Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

4.   Krasovskii N.N., Krasovskii A.N. Control under lack of information. Berlin etc.: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1995. 322 p. ISBN: 0-8176-3698-6.

5.   Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием // Докл. АН. 1971. Т. 196, № 4. С. 779–782.

6.   Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона — Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во УрФУ, 2011. 243 с.

7.   Лукоянов Н.Ю., Гомоюнов М.И., Плаксин А.Р. Функциональные уравнения Гамильтона — Якоби и дифференциальные игры для систем нейтрального типа // Докл. АН. 2017. Т. 477, № 3. C. 287–290. doi: 10.7868/S0869565217330064 

8.   Averboukh Yu.V. Krasovskii–Subbotin approach to mean field type differential games // Dyn. Games Appl. 2018. P. 1–21. doi: 10.1007/s13235-018-0282-6 

9.   Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

10.   Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. N Y: Elsevier, 2006. 540 p.

11.   Diethelm K. The analysis of fractional differential equations. Berlin: Springer, 2010. 247 p. doi: 10.1007/978-3-642-14574-2 

12.   Gomoyunov M.I. Solution to a zero-sum differential game with fractional dynamics via approximations // Dyn. Games Appl. [ArXiv:1902.02951].

13.   Gomoyunov M.I. Approximation of fractional order conflict-controlled systems // Progr. Fract. Differ. Appl. 2019. Vol. 5, № 3. [ArXiv:1805.10838].

14.   Chikrii A., Matychyn I. Riemann–Liouville, Caputo, and sequential fractional derivatives in differential games // Advances in dynamic games: theory, applications, and numerical methods for differential and stochastic games. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 2011. P. 61–81. doi: 10.1007/978-0-8176-8089-3_4 

15.   Mamatov M., Alimov K. Differential games of persecution of frozen order with separate dynamics // J. Appl. Math. Phys. 2018. Vol. 6. P. 475–487. doi: 10.4236/jamp.2018.63044 

16.   Банников А.С. Уклонение от группы преследователей в задаче группового преследования с дробными производными и фазовыми ограничениями // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2017. Т. 27, вып. 3. С. 309–314. doi: 10.20537/vm170302 

17.   Петров Н.Н. Одна задача группового преследования с дробными производными и фазовыми ограничениями // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2017. Т. 27, вып. 1. С. 54–59. doi: 10.20537/vm170105 

18.   Kartsatos A.G. Advanced ordinary differential equations (third edition). N Y: Hindawi Publ., 2005. 221 p.

19.   Diethelm K., Siegmund S., Tuan H.T. Asymptotic behavior of solutions of linear multi-order fractional differential systems // Fract. Calc. Appl. Anal. 2017. Vol. 20, № 5. P. 1165–1195. doi: 10.1515/fca-2017-0062 

20.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

21.   Lin S. Generalized Gronwall inequalities and their applications to fractional differential equations // J. Inequal. Appl. 2013. Vol. 2013. P. 1–9. doi: 10.1186/1029-242X-2013-549 

22.   Aghajani A., Jalilian Y., Trujillo J.J. On the existence of solutions of fractional integro-differential equations // Fract. Calc. Appl. Anal. 2012. Vol. 15, № 1. P. 44–69. doi: 10.2478/s13540-012-0005-4 

23.   Gomoyunov M.I. Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems // Frac. Calc. Appl. Anal. 2018. Vol. 21, № 5. P. 1238–1261. doi: 10.1515/fca-2018-0066 

24.   Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

Поступила 22.11.2018

После доработки 20.01.2019

Принята к публикации 21.01.2019

Гомоюнов Михаил Игоревич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
доцент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Ссылка на статью:   Гомоюнов М.И. Экстремальный сдвиг на сопутствующие точки  в позиционной дифференциальной игре  для системы дробного порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.  2019. Т. 25, № 1. С. 11-34.

Cite this article as:    M.I. Gomoyunov,  Extremal shift to accompanying points in a positional differential game for a fractional-order system, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 11–34 . 

English

M.I. Gomoyunov. Extremal shift to accompanying points in a positional differential game for a fractional-order system

A two-person zero-sum differential game is considered. The motion of the dynamical system is described by an ordinary differential equation with a Caputo fractional derivative of order $\alpha\in(0,1)$. The performance index consists of two terms: the first depends on the motion of the system realized by the terminal time and the second includes an integral estimate of the realizations of the players' controls. The positional approach is applied to formalize the game in the "strategies - counter-strategies" and "counter-strategies - strategies" classes as well in the "strategies - strategies" class under the additional saddle point condition in the small game. In each case, the existence of the value and of the saddle point of the game is proved. The proofs are based on an appropriate modification of the method of extremal shift to accompanying points, which takes into account the specific properties of fractional-order systems.

Keywords: fractional-order differential equation, Caputo derivative, differential game, game value, positional strategy, counter-strategy, extremal shift

Received November 21, 2018

Revised January 20, 2019

Accepted January 21, 2019

Mikhail Igorevich Gomoyunov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

[References -> on the "English" button bottom right]