Э.Б. Байрамов. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля на квадрате комплексной плоскости ... С. 5-15

УДК 517.538+519.651

MSC: 30C10, 30C15, 30E10

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-5-15

Исследуется задача Чебышева на квадрате $\Pi=\left\{z=x+iy\in\mathbb{C}\colon \max\{|x|, |y|\}\le 1\right\}$ комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Пусть $\mathfrak{P}_n$ есть множество алгебраических многочленов заданной степени $n$ с единичным старшим коэффициентом. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение  $\tau_n(\Pi)$ равномерной нормы $\|p_n\|_{C(\Pi)}$ на квадрате $\Pi$   многочленов $p_n\in \mathfrak{P}_n$ и многочлен с наименьшей нормой, называемый многочленом Чебышева (для квадрата). Найдена  постоянная Чебышева $\tau(Q)=\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\tau_n(Q)}$ для квадрата. Тем самым  найдена логарифмическая асимптотика наименьшего уклонения $\tau_n(\Pi)$ по степени многочлена.  Дано точное решение задачи для многочленов от первой до седьмой степени. Сужен класс многочленов в задаче, а  именно, доказано, что если $n=4m+s,\ 0\le s\le 3,$ то задачу достаточно решать на множестве многочленов $z^sq_m(z),\ q_m\in \mathfrak{P}_m.$ Получены  эффективные двусторонние  оценки величины наименьшего уклонения $\tau_n(\Pi)$ по $n$.

Ключевые слова: алгебраический многочлен, равномерная норма, квадрат комплексной плоскости, многочлен Чебышева.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Чебышев П.Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограмов // Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева: в 5 т. Т. 2: Математический анализ. М.; Л. : АН СССР, 1947. С. 23–51.

2.   Смирнов В.И. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л. : Наука, 1964. 327 c.

3.   Milovanovic G.V. Topics in polynomials: Extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Scientific Publ. Comp., 1994. 821 p. ISBN: 981-02-0499-X .

4.   Thiran J.-P. Chebyshev polynomials on circular arcs in the complex plane // Progress in Approximation Theory / eds. P. Nevai, A. Pinkus. Boston: Acad. Press, 1991. P. 771–786. ISBN: 0-12-516750-4 .

5.   Маергойз Л.С. Многочлены Чебышева с нулевым множеством на дуге окружности // Докл. АН. 2009. Т. 426, № 1. С. 26–28.

6.   Лукашов А.Л. Экстремальные полиномы на дугах окружности с нулями на этих дугах // Изв. НАН Армении. Математика 2009. № 3. C. 19–29.

7.   Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций // Изв. РАН. Сер. математическая. 2004. Т. 68, № 3. С. 115–138.

8.   Арестов В.В. О тригонометрических полиномах, наименее уклоняющихся от нуля // Докл. АН. 2009. T. 425, № 6. С. 733–736.

9.   Arestov V.V. Trigonometric polynomials that deviate the least from zero in measure and related problems // J. Approx. Theory. 2010. Vol. 162, no. 10. P. 1852–1878. doi: 10.1016/j.jat.2010.07.007 .

10.   Арестов В.В. Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке // Укр. мат. журн. 2010. Т. 62, № 3. С. 292–301.

11.   Бабенко А.Г. Неравенства слабого типа для тригонометрических полиномов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 2. С. 34–41.

12.   Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов. М. : ОНТИ, 1937. 203 p.

13.   Байрамов Э.Б. О многочленах Чебышева на квадрате комплексной плоскости // Современные проблемы математики и ее приложений: тез. докл. Междунар. 49-й мол. шк.-конф. / ИММ УрО РАН, УрФУ. Екатеринбург, 2018. C. 72.

14.   Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного: учебное пособие. М., Л. : Наука ГИТТЛ, 1952. 628 c.

15.   Fekete M.  $\ddot{\mathrm{U}}$ber die Verteilung der Wuzzeln bei gewissen algebraiscnen Gleichugen mit ganzzahligen Koeffizienten // Math. Z. 1923. Vol. 17, no. 1. P. 228–249.

16.   Tobin A.D.,Lloyd N.T. Schwarz-Christoffel mapping: textbook. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2002. 132 p. ISBN: 9780511029110 .

17.   Иванов В.И. Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. М.: Едиториал УРСС, 2002. 324 c.

18.   Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М. Наука, 1975. 320 с.

19.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. 2. М.: Физматлит, 2001. 864 p. 

 Поступила 01.07.2018

Байрамов Эмир Батырович 

инженер-исследователь
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: mrequ@yandex.ru

English 

E.B. Bayramov. Polynomials least deviating from zero on a square of the complex plane.

The Chebyshev problem is studied on the square $\Pi=\left\{z=x+iy\in\mathbb{C}\colon\max\{|x|,|y|\}\le 1\right\}$ of the complex plane $\mathbb{C}$. Let $\mathfrak{P}_n$ be the set of algebraic polynomials of a given degree $n$ with the unit leading coefficient. The problem is to find the smallest value $\tau_n(\Pi)$ of the uniform norm $\|p_n\|_{C(\Pi)}$ of polynomials $p_n\in \mathfrak{P}_n$ on the square $\Pi$ and a polynomial with the smallest norm, which is called the Chebyshev polynomial (for the squire). The Chebyshev constant $\tau(Q)=\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\tau_n(Q)}$ for the squire is found. Thus, the logarithmic asymptotics of the least deviation $\tau_n(\Pi)$ with respect to the degree of a polynomial is found. The problem is solved exactly for polynomials of degrees from 1 to 7. The class of polynomials in the problem is restricted; more exactly, it is proved that, for $n=4m+s$, $0\le s\le 3$, it is sufficient to solve the problem on the set of polynomials $z^sq_m(z)$, $q_m\in \mathfrak{P}_m$. Effective two-sided estimates for the value of the least deviation $\tau_n(\Pi)$ with respect to $n$ are obtained.

Keywords: algebraic polynomial, uniform norm, square of the complex plane, Chebyshev polynomial.

The paper was received by the Editorial Office on July 1, 2018.

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Emir Batyrovich Bayramov, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: mrequ@yandex.ru


 

[References -> on the "English" button bottom right]