Е.В. Берестова. Неравенство Планшереля - Полиа для целых функций экспоненциального типа в $L^2(\mathbb{R}^n)$ ... С. 27-33

УДК 517.53

MSC: 30D10, 30D15, 42A99

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-27-33

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (Постановление Правительства РФ № 211 от 16 марта 2013 г., соглашение № 02.A03.21.0006 от 27 августа 2013 г.)

Пусть $\mathfrak{M}_{\sigma,n}^p$, $p>0,$ есть множество  целых функций $f$  от $n$ комплексных переменных, имеющих экспоненциальный тип $\sigma=(\sigma_1,\ldots,\sigma_n),$ $\sigma_k>0,$ сужение которых на $\mathbb{R}^n$ принадлежит $L^p(\mathbb{R}^n).$ В 1937 г. Планшерель и Полиа показали, что справедливо неравенство $\sum_{k \in \mathbb{Z}^n}|f(k)|^p \le c_p(\sigma, n) \|f\|^p_{L^p(\mathbb{R}^n)},$ $f\in \mathfrak{M}_{\sigma,n}^p,$ с конечной константой $c_p(\sigma, n)$. В работе изучается неравенство Планшереля - Полиа  при $p=2$. Если $0<\sigma_k\le \pi,$ то в силу теоремы отсчетов  Уитткера - Котельникова - Шеннона и ее обобщения на многомерный случай, установленного Планшерелем и Полиа,  $c_2(\sigma, n)=1$ и любая функция $f\in \mathfrak{M}_{\sigma,n}^2$ является экстремальной. В общем случае в работе доказано, что $c_2(\sigma, n)=\prod_{k = 1}^{n}\left\lceil \sigma_k/\pi \right\rceil $,  и описан класс экстремальных функций. Также выписана  двойственная задача $\big|\sum _{k \in \mathbb{Z}^n} (g\ast g)(k)\big| \le d_2(\sigma,n) \|g\|_2^2,$ $g \in L^2\left(\Omega\right).$ Доказано равенство  $c_2(\sigma,n)=d_2(\sigma,n)$ и описан класс экстремальных функций.

Ключевые слова: неравенство Планшереля - Полиа, пространство Пэли - Винера, целая функция экспоненциального типа, преобразование Фурье.
 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. M.: Наука, 1977. 456 с.

2.   Gel’fand I. M., Shilov G. E. Generalized functions: Spaces of fundamental and generalized functions. N Y, London: Acad. Press, 1968. 261 p.

3.    Levin B. Ya. Lectures on entire functions. Providence, Rhode Island: American Math. Soc., 1996. 248 p.

4.    Plancherel M., P$\acute{\mathrm{o}}$lya G. Fontions enti$\grave{\mathrm{e}}$res et int$\acute{\mathrm{e}}$grales de Fourier multiples // Commentarii Mathematici Helvetici. 1937–1938. Vol. 10. P. 110–163.

5.   Boas R. P., Jr Entire functions bounded on a line // Duke Math. J. 1940. No. 6. P. 148–169. doi: 10.1215/S0012-7094-40-00613-5 .

6.    Donoho D. L., Logan B. F. Signal recovery and the large sieve // SIAM J. Appl. Math. 1992. Vol. 52, no 2. P. 577–591. doi: 10.1137/0152031 .

7.    Norvidas S. Concentration of $L^p$-bandlimited functions on discrete sets // Lithuanian Math. J. 2014. Vol. 54, no. 4. P. 471–481. doi: 10.1007/s10986-014-9258-4 .

8.    Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 244–278.

9.    Lubinsky D. S. On sharp constants in Marcinkiewicz – Zygmund and Plancherel – Polya inequalities // Proc. American Math. Soc. 2014. Vol. 142, no. 10. P. 3575–3584. doi: 10.1090/S0002-9939-2014-12270-2 .

10.    P$\acute{\mathrm{o}}$lya G. $\ddot{\mathrm{U}}$ber ganze Funktionen vom Minimaltypus der Ordnung 1, Aufgabe 105 // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung. 1931. Vol. 40. P.  9–12.

11.   Berestova E. V. Plancherel – P$\acute{\mathrm{o}}$lya inequality for entire functions of exponential type in $L^2(\mathbb{R})$ // Analysis Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 43–50. doi: 10.1007/s10476-018-0104-5 .

12.    Stein E., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton University Press, 1971. 297 p.

13.    Hardy G. H., Littlewood J. E., P$\acute{\mathrm{o}}$lya G. Inequalities. Cambridge: Cambridge University Press, 1934. 340 p.

Поступила 23.06.2018

Берестова Екатерина Владимировна 
младший науч. сотрудник
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: e.v.berestova@urfu.ru

English

E.V. Berestova. Plancherel-Polya inequality for entire functions of exponential type in $L^2(\mathbb{R}^n)$.

Let $\mathfrak{M}_{\sigma,n}^p$, $p>0$, be a set of entire functions $f$ of $n$ complex variables with exponential type $\sigma=(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$, $\sigma_k>0$, such that their restrictions to $\mathbb{R}^n$ belong to $L^p(\mathbb{R}^n)$. In 1937 Plancherel and Polya showed that $\sum_{k \in \mathbb{Z}^n}|f(k)|^p \le c_p(\sigma, n) \|f\|^p_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ for $f\in \mathfrak{M}_{\sigma,n}^p$, where $c_p(\sigma, n)$ is a finite constant. We study the Plancherel-Polya inequality for $p=2$. If $0<\sigma_k\le \pi$, then, by the Whittaker-Kotelnikov-Shannon theorem and its generalization to the multidimensional case established by Plancherel and Polya, we have $c_2(\sigma, n)=1$ and any function $f\in \mathfrak{M}_{\sigma,n}^2$ is extremal. In the general case, we prove that $c_2(\sigma, n)=\prod_{k = 1}^{n}\left\lceil \sigma_k/\pi \right\rceil $ and describe the class of extremal functions. We also write the dual problem $\big|\sum_{k \in \mathbb{Z}^n} (g\ast g)(k)\big| \le d_2(\sigma,n) \|g\|_2^2$, $g \in  L^2\left(\Omega\right)$, prove that $c_2(\sigma,n)=d_2(\sigma,n)$, and describe the class of extremal functions.

Keywords: Plancherel-Polya inequality, Paley-Wiener space, entire function of exponential type, Fourier transform.

The paper was received by the Editorial Office on June 23, 2018.

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Ekaterina Vladimirovna Berestova, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: e.v.berestova@urfu.ru.

[References -> on the "English" button bottom right]