УДК 519.17+512.54
MSC: 05C12, 05E18, 05E30
DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-263-271
Полный текст статьи
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-11-00061 П).
Настоящая работа посвящена проблеме классификации ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-графов. Граф Сойчера с массивом пересечений $\{56, 45, 16,1;1,8, 45, 56\}$ является примером ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-графа с $p=2$. Вопрос существования ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-графов с $p>2$ открыт. Одна из задач их классификации состоит в том, чтобы описать графы из этого класса небольшой степени. В этой работе мы исследуем группы автоморфизмов гипотетического ${\rm AT4}(7,9,r)$- графа и его локальных подграфов. Локальные подграфы ${\rm AT4}(7,9,r)$-графа сильно регулярны с параметрами $(711,70,5,7)$. Существование сильно регулярного графа с такими параметрами неизвестно. Мы докажем, что группа автоморфизмов ${\rm AT4}(7,9,r)$- графа действует интранзитивно на множестве его дуг. Более того, мы докажем, что группа автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами $(711,70,5,7)$ действует интранзитивно на множестве его вершин.
Ключевые слова: антиподальный плотный граф, сильно регулярный граф, автоморфизм
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гаврилюк А.Л., Махнев А.А., Падучих Д.В. О дистанционно регулярных графах, в которых окрестности вершин сильно регулярны // Докл. АН. 2013. Т. 452, № 3. С. 247–251.
2. Brouwer A.E. Parameters of strongly regular graphs [site] . URL: http://www.win.tue.nl/~ aeb/graphs/srg/srgtab.html
3. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs. Berlin etc: Springer-Verlag, 1989. 495 p. doi: 10.1007/978-3-642-74341-2 .
4. Cameron P.J. Permutation Groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 220 p. ISBN-10: 0521653789 .
5. Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol. 311. P. 132–144. doi: 10.1016/j.disc.2010.10.005 .
6. Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1–12.
7. Thompson-like characterizations of the solvable radical / R. Guralnick, B. Kunyavskii, E. Plotkin, A. Shalev // J. Algebra. 2006. Vol. 300. P. 363–375. doi: 10.1016/j.jalgebra.2006.03.001 .
Поступила 04.06.2018
Циовкина Людмила Юрьевна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: l.tsiovkina@gmail.com
English
L.Yu. Tsiovkina. On automorphism groups of AT4(7, 9,r)-graphs and their local subgraphs
The paper is devoted to the problem of classification of ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-graphs. An example of an ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-graph with $p=2$ is provided by the Soicher graph with intersection array $\{56, 45, 16,1;1,8, 45, 56\}$. The question of existence of ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-graphs with $p>2$ is still open. One task in their classification is to describe such graphs of small valency. We investigate the automorphism groups of a hypothetical ${\rm AT4}(7,9,r)$-graph and of its local graphs. The local graphs of each ${\rm AT4}(7,9,r)$-graph are strongly regular with parameters $(711,70,5,7)$. It is unknown whether a strongly regular graph with these parameters exists. We show that the automorphism group of each ${\rm AT4}(7,9,r)$-graph acts intransitively on its arcs. Moreover, we prove that the automorphism group of each strongly regular graph with parameters $(711,70,5,7)$ acts intransitively on its vertices.
Keywords: antipodal tight graph, strongly regular graph, automorphism
The paper was received by the Editorial Office on June 4, 2018.
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00061-П).
Lyudmila Yur’evna Tsiovkina, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: l.tsiovkina@gmail.com
[References -> on the "English" button bottom right]
