Л.Ю. Циовкина. О группах автоморфизмов AT4(7,9,r)-графов и их локальных подграфов ... C. 263-271

УДК 519.17+512.54

MSC: 05C12, 05E18, 05E30

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-263-271

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-11-00061 П).

Настоящая работа посвящена проблеме классификации  ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-графов. Граф Сойчера  с массивом пересечений $\{56, 45, 16,1;1,8, 45, 56\}$ является примером ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-графа с $p=2$. Вопрос существования  ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-графов с $p>2$ открыт. Одна из задач  их классификации состоит в том, чтобы описать графы из этого класса  небольшой степени. В этой работе  мы исследуем группы автоморфизмов гипотетического  ${\rm AT4}(7,9,r)$- графа и его локальных подграфов. Локальные подграфы ${\rm AT4}(7,9,r)$-графа сильно регулярны с параметрами $(711,70,5,7)$. Существование сильно регулярного графа с такими параметрами неизвестно. Мы докажем, что группа автоморфизмов   ${\rm AT4}(7,9,r)$- графа действует интранзитивно на множестве его дуг. Более того, мы   докажем, что группа автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами $(711,70,5,7)$ действует интранзитивно на множестве его вершин.

Ключевые слова: антиподальный плотный граф, сильно регулярный граф,   автоморфизм

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Гаврилюк А.Л., Махнев А.А., Падучих Д.В. О дистанционно регулярных графах, в которых окрестности вершин сильно регулярны // Докл. АН. 2013. Т. 452, № 3. С. 247–251.

2.   Brouwer A.E. Parameters of strongly regular graphs [site] . URL: http://www.win.tue.nl/~ aeb/graphs/srg/srgtab.html 

3.   Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs. Berlin etc: Springer-Verlag, 1989. 495 p. doi: 10.1007/978-3-642-74341-2 .

4.   Cameron P.J. Permutation Groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 220 p. ISBN-10: 0521653789 .

5.   Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol. 311. P. 132–144. doi: 10.1016/j.disc.2010.10.005 .

6.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

7.   Thompson-like characterizations of the solvable radical / R. Guralnick, B. Kunyavskii, E. Plotkin, A. Shalev // J. Algebra. 2006. Vol. 300. P. 363–375. doi: 10.1016/j.jalgebra.2006.03.001 .

Поступила 04.06.2018

Циовкина Людмила Юрьевна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: l.tsiovkina@gmail.com

English

L.Yu. Tsiovkina. On automorphism groups of AT4(7, 9,r)-graphs and their local subgraphs

The paper is devoted to the problem of classification of ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-graphs. An example of an ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-graph with $p=2$ is provided by the Soicher graph with intersection array $\{56, 45, 16,1;1,8, 45, 56\}$. The question of existence of ${\rm AT4}(p,p+2,r)$-graphs with $p>2$ is still open. One task in their classification is to describe such graphs of small valency. We investigate the automorphism groups of a hypothetical ${\rm AT4}(7,9,r)$-graph and of its local graphs. The local graphs of each ${\rm AT4}(7,9,r)$-graph are strongly regular with parameters $(711,70,5,7)$. It is unknown whether a strongly regular graph with these parameters exists. We show that the automorphism group of each ${\rm AT4}(7,9,r)$-graph acts intransitively on its arcs. Moreover, we prove that the automorphism group of each strongly regular graph with parameters $(711,70,5,7)$ acts intransitively on its vertices.

Keywords: antipodal tight graph, strongly regular graph,   automorphism

The paper was received by the Editorial Office on June 4, 2018.

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00061-П).

Lyudmila Yur’evna Tsiovkina, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: l.tsiovkina@gmail.com

[References -> on the "English" button bottom right]