Ю.Н. Субботин, С.И. Новиков, В.Т. Шевалдин. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны ... С. 200-225

УДК 517.5

MSC: 41A15

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-200-225

Статья представляет собой обзор результатов, полученных за последние 50 лет при исследовании задач экстремальной функциональной интерполяции. Мы анализируем различные постановки задач в этом направлении как для  одной, так и для нескольких переменных. Отдельно отмечается роль интерполяционных сплайнов различного вида (полиномиальных, интерполяционных в среднем, $\cal L$-сплайнов, $m$-гармонических и др.) в решении задач экстремальной функциональной интерполяции. Также мы указываем основные применения результатов и методов экстремальной интерполяции к другим задачам теории приближения и теории сплайнов.

Ключевые слова: интерполяция, сплайны, аппроксимация, дифференциальные операторы, разностные операторы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с.

2.   Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13, № 5. С. 3–120.

3.   Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1966. 388 с.

4.   Новиков С.И., Шевалдин В.Т. Об одной задаче экстремальной интерполяции для функций многих переменных. // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2001. Т. 7, № 1. С. 144–159.

5.   Новиков С.И. Периодическая интерполяция с минимальным значением нормы m-й производной // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 165–172.

6.   Новиков С.И. Интерполяция с минимальным значением нормы оператора Лапласа в шаре // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. 2008. Т. 5, № 1. C. 248–262.

7.   Новиков С.И. Задачи интерполяции с минимальным значением нормы оператора Лапласа на классе интерполируемых данных // Тр. Междунар. летней мат. шк.-конф. С. Б. Стечкина по теории функций (Таджикистан). Душанбе: Изд.-во ООО “Офсет“, 2016. С. 182-185.

8.   Пацко Н.Л. Приближение сплайнами на отрезке // Мат. заметки. 1974. Т.16, № 3. С. 491–500.

9.   Пацко Н.Л. Приближение сплайнами на отрезке в пространстве $L_p$ // Мат. заметки. 1995. Т.58, № 2. С. 281–294.

10.   Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1956. 171 c.

11.   Соболев С.Л. Лекции по теории кубатурных формул. Ч. 2. Новосибирск: Изд-во Новосибир. гос. ун-та, 1965. 263 c.

12.   Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 c.

13.   Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. T. 78. С. 24–42.

14.   Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей n-й производной // Тр. МИАН СССР. 1967. T. 88. С. 30–60.

15.   Субботин Ю.Н. Приближение сплайн-функциями и оценки поперечников // Тр. МИАН СССР. 1971. T. 109. С. 35–60.

16.   Субботин Ю.Н. Приближение сплайнами и гладкие базисы в C(0,2$\pi$) // Мат. заметки. 1972. T. 12, № 1. С. 43–51.

17.   Субботин Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны // Докл. АН СССР. 1974. Т. 214, №1. С. 56–58.

18.   Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР. 1975. T. 138. С. 118–173.

19.   Субботин Ю.Н. Экстремальные и аппроксимативные свойства сплайнов // Теория приближения функций: Тр. Междунар. конф. по теории приближения функций (Калуга, 24–28 июля 1975 г.). М.: Наука, 1977. С. 341–345.

20.   Субботин Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением n-й производной при больших интервалах усреднения // Мат. заметки. 1996. T. 59, № 1. С. 114–132.

21.   Субботин Ю.Н. Экстремальная в $L_p$ интерполяция в среднем при пересекающихся интервалах усреднения // Изв. РАН. Сер. математическая. 1997. T. 61, № 1. С. 177–198.

22.   Тимофеев В.Г. Неравенства типа Колмогорова с оператором Лапласа // Теория функций и аппроксимаций: сб. ст. Саратов: Изд-во СГУ, 1983. С. 84–92.

23.   Тихомиров В.М., Боянов Б.Д. О некоторых выпуклых задачах теории приближений // Serdica. 1979. Vol. 5, no 1. P. 83–96.

24.   Чуи Ч. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2001. 412 с.

25.   Шарма A., Цимбаларио И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности // Мат. заметки. 1977. Т. 21, № 2. С. 161–173.

26.   Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 5. С. 721–740.

27.   Шевалдин В.Т. Об одной задаче экстремальной интерполяции // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 4. С. 603–622.

28.   Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, № 4. С. 803–805.

29.   Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 164. С. 203–240.

30.   Шевалдин В.Т. $\cal L$-сплайны и поперечники // Мат. заметки. 1983. Т.33, № 5. С. 735–744.

31.   Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников некоторых классов периодических функций // Тр. МИАН СССР. 1992. Т. 198. С. 242–267.

32.   Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения и L-сплайны // Изв. РАН. Сер. математическая. 1998. Т. 62, № 4. С. 201–224.

33.   Atteia M. Functions “spline”, definies sur un ensemble convexe // Numer. Math. 1968. Vol.12. P. 192–210.

34.   Behforooz H. Approximation by integro cubic splines // Appl. Math. Comput. 2006. Vol.175. P. 8–15. doi:10.1016/j.amc.2005.07.066 .

35.   de Boor C. How small can one make the derivatives of an interpolating function? // J. Approx. Theory. 1990. Vol.13, no. 2. P. 105–116. doi:10.1016/0021-9045(75)90043-X .

36.   de Boor C., H$\ddot{\mathrm{o}}$llig K., Riemenschneider S. Box splines. New York etc.: Springer, 1993. 200 p.

37.   Burenkov V.I. Sobolev spaces on domains. Stuttgart: B. G. Teubner Verlag GmbH, 1998. 312 p. (Teubner Texts in Math. Vol. 137.)

38.   de Concini C., Procesi C. Topics in hyperplane arrangements, polytopes and box-splines. N Y etc.: Springer, 2010. 384 p.

39.   Favard J. Sur l’interpolation // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 19, no 9. P. 281–306.

40.   Fisher S., Jerome J. Minimum norm extremals in function spaces // Lecture Notes in Math. 1975. Vol. 479. P. 1–209.

41.   Holmes R. Geometric functional analysis and its applications. N.Y. ect.: Springer Verlag, 1975. 246 p.

42.   Kunkle T. Favard’s interpolation problem in one or more variables // Constr. Approx. 2002. Vol. 18, no. 4. P. 467–478. doi: 10.1007/s00365-001-0015-7 .

43.   Madych W.R., Nelson S.A. Polyharmonic cardinal splines // J. Approx. Theory. 1990. Vol. 60, no. 2. P. 141–156. doi: 10.1016/0021-9045(90)90079-6 .

44.   Madych W.R., Nelson S.A. Polyharmonic cardinal splines: a minimization property // J. Approx. Theory. 1990. Vol. 63, no. 3. P. 303–320. doi:10.1016/0021-9045(90)90123-8 .

45.   Micchelli C.A. Cardinal $\cal L$-splines // Studies in spline functions and approximation theory. N Y: Acad. Press, 1976. P. 203–250.

46.   Novikov S.I. Generalization of the Rolle theorem // East J. Approx. 1995. Vol. 1, no. 4. P. 571–575.

47.   Schoenberg I.J. Cardinal interpolation and spline functions // J. Approx. Theory. 1969. Vol. 2, no. 2. P. 167–206. doi: 10.1016/0021-9045(69)900040-9 .

48.   Schoenberg I.J. On Micchelli’s theory of cardinal L-splines // Studies in spline functions and approximation theory. N Y: Acad. Press, 1976. P. 251–276.

49.   Sharma A., Tzimbalario J. A generalization of a result of Subbotin // Approximation theory - ll (Proc. Internat. Sympos., Univ. Texas, 1976). N Y: Acad. Press, 1976. P. 557–562.

50.   Subbotin Yu.N. Some extremal problems of interpolation and interpolation in the mean // East J. Approx. 1996. Vol. 2, no. 2. P. 155–167.

51.   Zhanlav T., Mijiddorj R. Integro quintic splines and their approximation properties // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 231. P. 536–543. doi:10.1016/j.amc.2014.01.043 .

52.   Zhanlav T., Mijiddorj R., Behforooz H.. Construction of local integro quintic splines // Commun. Numer. Anal. 2016. No. 2. P. 167–179. doi: 10.5899/2016/cna-00267 .

53.   Zhanlav T., Mijiddorj R. Convexity and monotonicity properties of the local integro cubic spline // Appl. Math. Comput. 2017. Vol. 293. P. 131–137. doi:10.1016/j.amc.2016.08.017 .

Поступила 20.05.2018

Субботин Юрий Николаевич
чл.-корр. РАН, главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: yunsub@imm.uran.ru

Новиков Сергей Игоревич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru

Шевалдин Валерий Трифонович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru

English

Yu. N. Subbotin, S. I. Novikov, V. T. Shevaldin. Extremal function interpolation and splines.

The paper is a survey of the results obtained in the problems of extremal function interpolation over the past 50 years. Various statements of problems in this direction are analyzed both for the case of one variable and for the case of several variables. A special focus is put on the role of interpolation splines of different types (polynomial, interpolating in the mean, $\cal L$-splines, $m$-harmonic, etc.) in solving the problems of extremal function interpolation. Important applications of the results and methods of extremal interpolation to other problems in approximation theory and the theory of splines are specified.

Keywords: interpolation, splines, approximation, differential operators, difference operators.

The paper was received by the Editorial Office on May 20, 2018.

Yurii Nikolaevich Subbotin, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990, Russia, e-mail: yunsub@imm.uran.ru

Sergey Igorevich Novikov, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990, Russia,
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru

Valerii Trifonovich Shevaldin, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990, Russia,
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru

[References -> on the "English" button bottom right]