УДК 512.542
MSC: MSC20D10, MSC20D20, MSC20D25, MSC20D40
DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-145-154
Полный текст статьи
Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Добавлением к подгруппе A в группе G называется подгруппа B такая, что G=AB. Конечные группы, в которых силовская подгруппа перестановочна с некоторыми подгруппами Шмидта, исследовались в работах Я.Г. Берковича и Э.М. Пальчика (Сиб. мат. журнал. 1967. T. 8, № 4. C. 741-753), В.Н. Княгиной и В.С. Монахова (Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3, С. 130-139). В этой ситуации группа может быть неразрешимой. Например, в группах Sz(8), PSU(5,4), PSU(4,2), PSp(4,4) вообще нет подгрупп Шмидта нечетного порядка, поэтому в этих группах любая силовская подгруппа перестановочна с любой подгруппой Шмидта нечетного порядка. В данной работе устанавливается r-разрешимость конечной группы G при условии, что нечетное r не является числом Ферма и силовская r-подгруппа R перестановочна с 2-нильпотентными (или 2-замкнутыми) подгруппами Шмидта четного порядка из некоторого добавления к R в G. Приведены примеры, показывающие, что ограничения на r не являются лишними.
Ключевые слова: конечная группа, группа Шмидта, r-разрешимая группа, силовская r-подгруппа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. 1924. Т. 31. С. 366–372.
2. Монахов В. С. Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения // Тр. Укр. мат. конгресса (2001) / Ин-т математики НАHУ. Киев, 2002. Cек. 1. С. 81–90.
3. Беркович Я. Г., Пальчик Э. М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. 1967. T. 8, № 4. C. 741–753.
4. Княгина В. Н., Монахов В. С. О перестановочности силовских подгрупп с подгруппами Шмидта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3, С. 130–139.
5. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer, 1967. 793 p. doi: 10.1007/978-3-642-64981-3 .
6. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006. 207 с.
7. Княгина В. Н., Монахов В. С. Конечные группы с полунормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, № 4. С. 448–458.
8. Su X. On seminormal subgroups of finite group // J. Math. (Wuhan). 1988. Vol. 8, no. 1. P. 7–9.
9. Carocca A., Matos H. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Math. J. 1997. Vol. 26, no. 1. P. 157–161. doi: 10.14492/hokmj/1351257811 .
10. Подгорная В. В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.–матэм. навук. 2000. № 4. С. 22–25.
11. Монахов В. С. Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой // Мат. зам. 2006. Т. 80, № 4. С. 573–581.
12. Беркович Я. Г. Теорема о ненильпотентных разрешимых подгруппах конечной группы // Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1966. C. 24–39. ISBN: 978-5-458-54866-3 .
13. Монахов В. С. О подгруппах Шмидта конечных групп // Вопросы алгебры. 1998. Вып. 13. С. 153–171.
14. Ito N. On the faktorisations of the linear fractional group LF(2,pn) // Acta Sci. Math. 1953. No. 15. P. 79–84.
15. Монахов В. С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1975. С. 70–100.
16. Fisman E. On the product of two finite solvable groups // J. Algebra. 1983. Vol. 80. P. 517–536.
17. Казарин Л. С. О группах, представимых в виде произведения двух разрешимых подгрупп // Commun. Algebra. 1986. Т. 14, no. 6. C. 1001–1066.
18. Atlas of finite groups / J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p. ISBN-10: 0198531990 .
19. Княгина В. Н., Монахов В. С. О π′-свойствах конечной группы, обладающей π-холловой подгруппой // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52, № 2. C. 297–309.
Поступила 27.04.2018
Монахов Виктор Степанович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры алгебры и геометрии
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, г. Минск
e-mail: victor.monakhov@gmail.com
Зубей Екатерина Владимировна
аспирант
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, г. Минск
e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru
English
V.S. Monakhov, E.V. Zubei. On the permutability of a Sylow subgroup with Schmidt subgroups from a supplement
A Schmidt group is a finite nonnilpotent group each of whose proper subgroups is nilpotent. A supplement of a subgroup A in a group G is a subgroup B of G such that G=AB. Finite groups in which a Sylow subgroup is permutable with some Schmidt subgroups were studied by Ya.G. Berkovich and E.M. Pal'chik (Sib. Mat. Zh. 8(4), 741-753 (1967)) and by V. N. Knyagina and V.S. Monakhov (Proc. Steklov Inst. Math. 272 (Suppl. 1), S55-S64 (2011)). In this situation, the group may be nonsolvable. For example, in the group PSL(2,7) a Sylow 2-subgroup is permutable with all Shmidt subgroups of odd order. In the group SL(2,8) a Sylow 3-subgroup is permutable with all 2-closed Shmidt subgroups of even order. In the group SL(2,4) a Sylow 5-subgroup is permutable with every 2-closed Shmidt subgroup of even order. Since the groups Sz(22k+1) for k≥1, PSU(5,4), PSU(4,2), and PSp(4,2n) do not contain Shmidt subgroups of odd order, in these groups any Sylow subgroup is permutable with any Shmidt subgroup of odd order. We establish the r-solvability a finite group G such that r is odd and is not a Fermat prime and a Sylow r-subgroup R is permutable with 2-nilpotent (or 2-closed) Schmidt subgroups of even order from some supplement of R in G. We give examples showing that the constraints on r are not superfluous.
Keywords: finite group, Schmidt group, r-solvable group, Sylow r-subgroup.
The paper was received by the Editorial Office on April 27, 2018.
Viktor Stepanovich Monakhov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Republic of Belarus, e-mail: victor.monakhov@gmail.com
Ekaterina Vladimirovna Zubei, doctoral student, Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Republic of Belarus, e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru
[References -> on the "English" button bottom right]
