В.С. Монахов, Е.В. Зубей. О перестановочности силовской подгруппы с подгруппами Шмидта из некоторого ее добавления ... С. 145-154

УДК 512.542

MSC: MSC20D10, MSC20D20, MSC20D25, MSC20D40

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-145-154

Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, все собственные подгруппы которой нильпотентны.  Добавлением к подгруппе $A$ в группе $G$ называется подгруппа $B$ такая, что $G=AB$. Конечные группы, в которых силовская подгруппа перестановочна с некоторыми подгруппами Шмидта, исследовались в работах Я.Г. Берковича и Э.М. Пальчика (Сиб. мат. журнал. 1967. T. 8, № 4. C. 741-753), В.Н. Княгиной и В.С. Монахова (Тр. Ин-та математики и механики  УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3, С. 130-139). В этой ситуации группа может быть неразрешимой. Например, в группах  $Sz(8)$, $PSU(5,4)$, $PSU(4,2)$, $PSp(4,4)$ вообще нет подгрупп Шмидта нечетного порядка, поэтому в этих группах любая силовская подгруппа перестановочна с любой подгруппой Шмидта нечетного порядка. В данной работе устанавливается $r$-разрешимость конечной группы $G$ при условии, что нечетное $r$ не является числом Ферма и силовская $r$-подгруппа $R$ перестановочна с $2$-нильпотентными (или $2$-замкнутыми) подгруппами Шмидта четного порядка из некоторого добавления к $R$ в $G$. Приведены примеры, показывающие, что ограничения на $r$ не являются лишними.

Ключевые слова: конечная группа, группа Шмидта, $r$-разрешимая группа, силовская $r$-подгруппа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. 1924. Т. 31. С. 366–372.

2.   Монахов В. С. Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения // Тр. Укр. мат. конгресса  (2001) / Ин-т математики НАHУ. Киев, 2002. Cек. 1. С. 81–90.

3.   Беркович Я. Г., Пальчик Э. М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. 1967. T. 8, № 4. C. 741–753.

4.   Княгина В. Н., Монахов В. С. О перестановочности силовских подгрупп с подгруппами Шмидта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3, С. 130–139.

5.   Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer, 1967. 793 p. doi: 10.1007/978-3-642-64981-3 .

6.   Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006. 207 с.

7.   Княгина В. Н., Монахов В. С. Конечные группы с полунормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, № 4. С. 448–458.

8.   Su X. On seminormal subgroups of finite group // J. Math. (Wuhan). 1988. Vol. 8, no. 1. P. 7–9.

9.   Carocca A., Matos H. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Math. J. 1997. Vol. 26, no. 1. P. 157–161. doi: 10.14492/hokmj/1351257811 .

10.   Подгорная В. В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.–матэм. навук. 2000. № 4. С. 22–25.

11.   Монахов В. С. Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой // Мат. зам. 2006. Т. 80, № 4. С. 573–581.

12.   Беркович Я. Г. Теорема о ненильпотентных разрешимых подгруппах конечной группы // Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1966. C. 24–39. ISBN: 978-5-458-54866-3 .

13.   Монахов В. С. О подгруппах Шмидта конечных групп // Вопросы алгебры. 1998. Вып. 13. С. 153–171.

14.   Ito N. On the faktorisations of the linear fractional group $LF(2,p^n)$ // Acta Sci. Math. 1953. No. 15. P. 79–84.

15.   Монахов В. С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. Минск: Наука и техника, 1975. С. 70–100.

16.   Fisman E. On the product of two finite solvable groups // J. Algebra. 1983. Vol. 80. P. 517–536.

17.   Казарин Л. С. О группах, представимых в виде произведения двух разрешимых подгрупп // Commun. Algebra. 1986. Т. 14, no. 6. C. 1001–1066.

18.   Atlas of finite groups / J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p. ISBN-10: 0198531990 .

19.   Княгина В. Н., Монахов В. С. О $\pi^\prime$-свойствах конечной группы, обладающей $\pi$-холловой подгруппой // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52, № 2. C. 297–309.

Поступила 27.04.2018

Монахов Виктор Степанович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры алгебры и геометрии
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, г. Минск
e-mail: victor.monakhov@gmail.com

Зубей Екатерина Владимировна
аспирант
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, г. Минск
e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru

English

V.S. Monakhov, E.V. Zubei. On the permutability of a Sylow subgroup with Schmidt subgroups from a supplement

A Schmidt group is a finite nonnilpotent group each of whose proper subgroups is nilpotent. A supplement of a subgroup $A$ in a group $G$ is a subgroup $B$ of $G$ such that $G=AB$. Finite groups in which a Sylow subgroup is permutable with some Schmidt subgroups were studied by Ya.G. Berkovich and E.M. Pal'chik (Sib. Mat. Zh. 8(4), 741-753 (1967)) and by V. N. Knyagina and V.S. Monakhov (Proc. Steklov Inst. Math. 272 (Suppl. 1), S55-S64 (2011)). In this situation, the group may be nonsolvable. For example, in the group PSL(2,7) a Sylow 2-subgroup is permutable with all Shmidt subgroups of odd order. In the group SL(2,8) a Sylow 3-subgroup is permutable with all 2-closed Shmidt subgroups of even order. In the group SL(2,4) a Sylow 5-subgroup is permutable with every 2-closed Shmidt subgroup of even order. Since the groups Sz$(2^{2k+1})$ for $k\geq 1$, PSU(5,4), PSU(4,2), and PSp$(4,2^n)$ do not contain Shmidt subgroups of odd order, in these groups any Sylow subgroup is permutable with any Shmidt subgroup of odd order. We establish the $r$-solvability a finite group $G$ such that $r$ is odd and is not a Fermat prime and a Sylow $r$-subgroup $R$ is permutable with 2-nilpotent (or 2-closed) Schmidt subgroups of even order from some supplement of $R$ in $G$. We give examples showing that the constraints on $r$ are not superfluous.

Keywords: finite group, Schmidt group, $r$-solvable group, Sylow $r$-subgroup.

The paper was received by the Editorial Office on April 27, 2018.

Viktor Stepanovich Monakhov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Republic of Belarus, e-mail: victor.monakhov@gmail.com

Ekaterina Vladimirovna Zubei, doctoral student, Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Republic of Belarus, e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru

[References -> on the "English" button bottom right]