И.А. Финогенко. Метод предельных дифференциальных включений для неавтономных разрывных систем с последействием ... С. 236-246

УДК 533.911.5

MSC: 34D05, 34K09

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-236-246

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 16-01-00505) и в рамках Программы государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ-8081.2016.9).

Исследуются функционально-дифференциальные уравнения $\dot{x}= f(t,\phi(\cdot))$ с кусочно-непрерывными правыми частями. Предполагается, что  множества $M$ точек разрыва правых частей обладают свойством граничности, а не является множествами нулевой меры, как  для дифференциальных уравнений без запаздывания. Такое предположение связано прежде всего с бесконечномерностью области определения функции $f$. Решения исследуемых уравнений понимаются в смысле А.Ф. Филиппова.  Основные результаты относятся к теоремам об асимптотическом поведении решений. Они формулируются с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными. Трудности исследований неавтономных систем связаны  с тем, что $\omega$-предельные множества их решений не обладают свойствами типа инвариантности и множества нулей производных функционалов Ляпунова могут зависеть от переменной $t$ и выходить за рамки пространства переменных $\phi(\cdot)$. Для разрывных неавтономных систем возникает еще проблема построения предельных дифференциальных уравнений с использованием сдвигов $f^{\tau}(t+\tau,\phi(\cdot))$ функции $f$. В данной статье вводятся понятия предельных дифференциальных включений без использования предельных переходов на последовательностях сдвигов разрывных или многозначных отображений. Изучаются их свойства с учетом специфики построения.  Устанавливаются свойства типа инвариантности $\omega$-предельных множеств решений и аналоги принципа инвариантности Ж. Ла-Салля.

Ключевые слова: предельное функционально-дифференциальное включение, асимптотическое поведение решений, функционал Ляпунова, принцип инвариантности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

2. Руш Н., Абетс М., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

3. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

5. Сурков А.В. Об устойчивости функционально-дифференциальных включений с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №8. С. 1055–1063.

6. Мартынюк А.А., Като Д., Шестаков А.А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990. 256 с.

7. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1, 2 // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 22. P. 241–283.

8. Artstein Z. The limiting equations of nonautonomous ordinary differential equations // J. Differ. Equations. 1977. Vol. 25. P. 184–202.

9. Андреев А.С. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 2009. № 9. С. 4–55.

10. Финогенко И.А. Предельные дифференциальные включения и принцип инвариантности для неавтономных систем // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 20, № 1. С. 271–284.

11. Финогенко И.А. Принцип инвариантности для неавтономных функционально-дифференциальных включений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 271–284.

12. Финогенко И.А. Принцип инвариантности для неавтономных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 4. С. 913–927.

13. Davy J.L. Properties of solution set of a generalized differential equation // Bull. Austral. Math. Soc. 1972. Vol. 6. P. 379–398.

14. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

15. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. М.: КомКнига, 2005. 215 с.

16. Ким А.В. i-гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения / Ин-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1996. 233 с.

Поступила 10.10.2017

Финогенко Иван Анатольевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
старший науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М.Матросова
Сибирского отделения Российской академии наук, г. Иркутск
e-mail: fin@icc.ru

English

I.A. Finogenko. Method of limiting differential inclusions for nonautonomous discontinuous systems with delay.

Functional-differential equations $\dot {x}=f(t,\phi(\cdot))$ with piecewise continuous right-hand sides are studied. It is assumed that the sets $M$ of discontinuity points of the right-hand sides possess the boundedness property in contrast to being zero-measure sets, as in the case of differential equations without delay. This assumption is made largely because the domain of the function $f$ is infinite-dimensional. Solutions to the equations under consideration are understood in Filippov's sense. The main results are theorems on the asymptotic behavior of solutions formulated with the use of invariantly differentiable Lyapunov functionals with fixed-sign derivatives. Nonautonomous systems are difficult to deal with because $\omega$-limiting sets of their solutions do not possess invariance-type properties, whereas sets of zeros of derivatives of Lyapunov functionals may depend on the variable $t$ and extend beyond the space of variables $\phi(\cdot)$. For discontinuous nonautonomous systems, there arises the issue of constructing the limiting differential equations with the use of shifts $f^{\tau}(t+\tau,\phi(\cdot))$ of the function $f$. We introduce the notion of limiting differential inclusion without employing limit passages on sequences of shifts of discontinuous or multivalued mappings. The properties of such inclusions are studied. Invariance-type properties of $\omega$-limiting sets of solutions and analogs of LaSalle's invariance principle are established.

Keywords: limiting functional-differential inclusion, asymptotic behavior of solutions, Lyapunov's functional, invariance principle

The paper was received by the Editorial Office on October 10, 2017.

Ivan Anatol’evich Finogenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Matrosov Institute for System Dynamics
and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia,
e-mail: fin@icc.ru .