М.И. Гомоюнов, Д.А. Серков. Управление с поводырем в задаче оптимизации гарантии при функциональных ограничениях на помеху ... С. 82-94.

УДК 517.977

MSC: 49N35, 49N70

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-82-94

Работа выполнена при финансовой поддержке Комплексной программы фундаментальных исследований УрО РАН (проект № 15-16-1-13).

Рассматривается задача об управлении движением динамической системы в условиях помех на конечном промежутке времени. Значения управления и помехи стеснены компактными геометрическими ограничениями. Условие равновесия в маленькой игре не предполагается выполненным. Целью управления является минимизация заданного терминального показателя качества. В рамках теоретико-игрового подхода ставится задача об оптимизации гарантированного результата управления. Для случая, когда реализации помехи принадлежат некоторому априори не известному компактному подмножеству пространства $L_1$ (функций, суммируемых по Лебегу с нормой), дана новая дискретная по времени процедура управления с поводырем, разрешающая эту задачу. Близость движений исходной системы и поводыря обеспечивается при помощи динамического восстановления помехи. Качество процесса управления достигается за счет использования в поводыре оптимальной контрстратегии. Указаны условия на уравнения движения, при которых эта процедура обеспечивает достижение оптимального гарантированного результата в классе квазистратегий. Схема обоснования этого факта позволяет оценить отклонение реализующегося значения показателя качества от величины указанного оптимального результата в зависимости от параметра дискретизации. Приводятся иллюстрирующие примеры.

Ключевые слова: оптимизация гарантии, функциональные ограничения, квазистратегии, управление с поводырем.

Список литературы

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2. Субботин A.И., Ченцов A.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.:Наука, 1985. 516 c.

4. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Berlin etc.: Birkhauser, 1995. 322 p. ISBN 0-8176-3698-6.

5. Серков Д.А. Гарантированное управление при функциональных ограничениях на помеху // Математическая теория игр и ее приложения. 2012. Т. 4, вып. 2. С. 71-95.

6. Серков Д.А. О неулучшаемости стратегий с полной памятью в задачах оптимизации гарантированного результата // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 204-217.

7. Kryazhimskii A.V. The problem of optimization of the ensured result: unimprovability of full-memory strategies // Constantin Caratheodory: An International Tribute. New York; London; Munich etc.: World Scientific Publ. Co, 1991. P. 636-675.

8. Кряжимский А.В, Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР: Техн. кибернет. 1983. № 2. С. 51-60.

9. Серков Д.А. Оптимальное по риску управление при функциональных ограничениях на помеху // Математическая теория игр и ее приложения. 2013. Т. 5, вып. 1. С. 74--103.

10. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс / Институт компьютерных исследований. М.; Ижевск: НИЦ ``Регулярная и хаотическая динамика'', 2009. 724 с. ISBN: 978-5-93972-742-6.

11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

12. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

13. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

Поступила 30.06.2017

Гомоюнов Михаил Игоревич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
доцент
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Серков Дмитрий Александрович
д-р физ.-мат. наук, зав.сектором
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
профессор
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: serkov@imm.uran.ru

English

M.I. Gomoyunov, D.A. Serkov. Control with a guide in the guarantee optimization problem under functional constraints on the disturbance.

A motion control problem for a dynamic system under disturbances is considered on a finite time interval. There are compact geometric constraints on the values of the control and disturbance. The equilibrium condition in the small game is not assumed. The aim of the control is to minimize a given terminal quality index. The guaranteed result optimization problem is posed in the context of the game-theoretical approach. In the case when realizations of the disturbance belong to some a priori unknown compact subset of $L_1$ (the space of functions that are Lebesgue summable with the norm), we propose a new discrete-time control procedure with a guide. The proximity between the motions of the system and the guide is provided by the dynamic reconstruction of the disturbance. The quality of the control process is achieved by using an optimal counter-strategy in the guide. Conditions on the equations of motion under which this procedure ensures an optimal guaranteed result in the class of quasi-strategies are given. The scheme of the proof makes it possible to estimate the deviation of the realized value of the quality index from the value of the optimal result depending on the discretization parameter. Illustrative examples are given.

Keywords: guarantee optimization, functional constraints, quasi-strategies, control with a guide.

The paper was received by the Editorial Office on June 30, 2017.

Mihail Igorevich Gomoyunov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University named after B. N. Yeltsin, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com .

Dmitrii Aleksandrovich Serkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: serkov@imm.uran.ru .