Н.А. Ильясов. Прямая теорема в разных метриках теории приближений периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье ... С. 144-158.

УДК 517.518.454, 517.518.832

MSC: 42A10, 41А17, 41А25, 42А32

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-144-158

В статье исследуется задача о порядковой точности оценки сверху наилучшего приближения в $L_{q} (\mathbb T)$ посредством модуля гладкости $l$-го порядка (модуля непрерывности при $l=1$) в $$L_{p}(\mathbb T)\colon E_{n-1}(f)_{q} \le C(l,p,q)\big(\textstyle\sum\limits_{\nu =n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q}, n\in\mathbb N,$$ на классе $M_{p}(\mathbb T)$ всех функций $f\in L_{p}(\mathbb T)$, коэффициенты Фурье которых удовлетворяют условиям $$a_{0}(f)=0, a_{n}(f)\downarrow 0, b_{n} (f)\downarrow 0 (n\uparrow \infty), l\in\mathbb N, 1 < p < q < \infty, l < \sigma=1/p-1/q, \mathbb T=(-\pi,\pi].$$ В случае $l$=1 и $p\ge 1$ указанная оценка впервые установлена П. Л. Ульяновым при доказательстве неравенства разных метрик для модулей непрерывности, а в случае $l>1$ и $p\ge 1$ в силу $L_{p}$-аналога неравенства Д. Джексона - С. Б. Стечкина доказательство этой оценки сохраняется. Ниже сформулированы основные результаты, полученные в данной работе. Для того, чтобы функция $f\in M_{p}(\mathbb T)$ принадлежала $L_{q}(\mathbb T)$, где $1 < p < q < \infty,$ необходимо и достаточно выполнения условия $\sum_{n=1}^{\infty}n^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/n)_{p} < \infty,$ при этом имеют место порядковые равенства

$(a) E_{n-1}(f)_{q}+n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\asymp\big(\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q} (f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q},$ $n\in\mathbb N$;

$(b) n^{-(l-\sigma)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-\sigma)-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_{q}\big)^{1/p}\asymp \big(\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q}, n\in\mathbb N$.

При оценке снизу в п.~$(a)$ второе слагаемое $n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p},$ в общем случае, не допускает исключения. Однако, если последовательность $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}$ либо последовательность $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет $(B_{l}^{(p)})$-условию Н.\,К.\,Бари, равносильному $(S_{l})$-условию С.\,Б.\,Стечкина, то $$ E_{n-1}(f)_{q}\asymp\big(\textstyle\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big) ^{1/q}, n\in\mathbb N. $$ Оценка сверху в пункте $(b)$, имеющая место для любой функции $f\in L_{p}(\mathbb T)$ при условии сходимости ряда, представляет собой усиленный вариант прямой теоремы. Порядковое равенство $(b)$ показывает, что усиленный вариант является точным в смысле порядка на всем классе $M_{p}(\mathbb T)$.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, прямая теорема в разных метриках, тригонометрический ряд Фурье с монотонными коэффициентами, точное в смысле порядка неравенство на классе.

Список литературы

1. Ильясов Н.А. К прямой теореме теории приближений периодических функций в разных метриках // Тр. МИАН. 1997. Т. 219. С. 220-234.

2. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15, № 3. С. 219-242.

3. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

4. Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат. сб. 1958. Т. 44(86), № 1. С. 53-84.

5. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Мат. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 104-131.

6. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. МИАН. 1988. Т. 181. С. 117-136.

7. Гольдман М.Л. Критерий вложения разных метрик для изотропных пространств Бесова с произвольными модулями непрерывности // Тр. МИАН. 1992. Т. 201. С. 186-218.

8. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

9. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. об-ва. 1956. Т. 5. С. 483-522.

10. Лозинский С.М. Обращение теорем Джексона // Докл. АН СССР. 1952. Т. 83, № 5. С. 645-647.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.

12. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

13. Конюшков А.А. О наилучших приближениях при преобразовании коэффициентов Фурье методом средних арифметических и о рядах Фурье с неотрицательными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 1. С. 56-78.

14. Кокилашвили В.М. О приближении периодических функций // Тр. Тбилис. мат. ин-та. 1968. Т. 34. С. 51-81.

15. Aljancic S. On the integral moduli of continuity in $L_{p}\ (1< p < \infty)$ of Fourier series with monotone coefficients // Proc. Amer. Math. Soc.  1966. Vol. 17, no. 2. P. 287-294.

16. Zygmund A. Smooth functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, no. 1. P. 47-76.

17. Тиман М.Ф. Обратные теоремы конструктивнoй теории функций в пространствах $L_{p} (1\le p\le \infty)$ // Мат. сб. 1958. Т. 46(88), № 1. С. 125-132.

18. Тиман М.Ф. О теореме Джексона в пространствах $L_{p}$ // Укр. мат. журн. 1966. Т. 18, № 1. С. 134-137.

19. Ильясов Н.А. Обратная теорема в разных метриках теории приближений периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 153-162.

20. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций $H_{p}^{\omega}$ // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1968. Т. 32, № 3. С. 649-686.

21. Стороженко Э.А. Теоремы вложения и наилучшие приближения // Мат. сб. 1975. Т. 97(139), № 2(6). С. 230-241.

Поступила 15.03.2017

Ильясов Ниязи Аладдин оглы

канд. физ.-мат. наук, доцент

Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджан

e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

English

N.A. Il'yasov. The direct theorem of the theory of approximation of periodic functions with monotone Fourier coefficients in different metrics.

We study the problem of order optimality of an upper bound for the best approximation in~$L_{q}(\mathbb T)$ in terms of the $l$th-order modulus of smoothness (the modulus of continuity for $l=1$) in $$L_{p}(\mathbb T)\colon E_{n-1}(f)_{q}\le C(l,p,q)\big(\textstyle\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q}, n\in\mathbb N,$$ on the class $M_{p}(\mathbb T)$ of all functions $f\in L_{p}(\mathbb T)$ whose Fourier coefficients satisfy the conditions $$a_{0}(f)=0, a_{n}(f)\downarrow 0, \text {and} b_{n} (f)\downarrow 0 (n\uparrow \infty),  l\in\mathbb N, 1< p < q < \infty, l>\sigma=1/p-1/q, \text{and} \mathbb T=(-\pi,\pi].$$ For $l=1$ and $p\ge 1$, the bound was first established by P. L. Ul'yanov in the proof of the inequality of different metrics for moduli of continuity; for $l>1$ and $p\ge 1$, the proof of the bound remains valid in view of the $L_{p}$-analog of the Jackson-Stechkin inequality. Below we formulate the main results of the paper. A function $f\in M_{p}(\mathbb T)$ belongs to $L_{q}(\mathbb T)$, where $1 < p < q < \infty$, if and only if $\sum_{n=1}^{\infty}n^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/n)_{p}< \infty$, and the following order inequalities hold:

(a) $E_{n-1}(f)_{q}+n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\asymp\big(\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q} (f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q}$, $n\in\mathbb N$;

(b) $n^{-(l-\sigma)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-\sigma)-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_{q}\big)^{1/p}\asymp \big(\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q}$, $n\in\mathbb N$.

In the lower bound in inequality (a), the second term $n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}$ generally cannot be omitted. However, if the sequence $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}$ or the sequence $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ satisfies Bari's $(B_{l}^{(p)})$-condition, which is equivalent to Stechkin's $(S_{l})$-condition, then $$E_{n-1}(f)_{q}\asymp\bigg(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\bigg)^{1/q}, n\in\mathbb N.$$ The upper bound in inequality~(b), which holds for any function $f\in L_{p}(\mathbb T)$ if the series converges, is a strengthened version of the direct theorem. The order inequality $(b)$ shows that the strengthened version is order-exact on the whole class~$M_{p}(\mathbb T)$.

Keywords: best approximation, modulus of smoothness, direct theorem in different metrics, trigonometric Fourier series with monotone coefficients, order-exact inequality on a class.

The paper was received by the Editorial Office on March 15, 2017.

Niyazi Aladdin ogly Il'yasov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Baku State University, Baku, Azerbaijan, e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com .