УДК 517.518.45
MSC: 42A32
DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-125-133
Полная версия статьи
В работе рассматривается следующая задача: найти достаточные условия на последовательности $\{\gamma(r)\}$, $\{n_j\}$ и $\{v_j\}$, чтобы для любой последовательности $\{b_k\}$, удовлетворяющей условию $\sum_{k=r}^{\infty}|b_k-b_{k+1}|\leq\gamma(r)$, $b_k\to 0$, сходился интеграл $ \int_0^\pi U^p(x)/{x^q} dx$, где $p>0$, $q\in[1-p;1)$, $U(x):=\sum_{j=1}^{\infty}\left|\sum_{k=n_j}^{v_j}b_k \sin kx\right|$. В такой постановке для $\gamma(r)={B}/{r}$, $B>0$, задача была рассмотрена и решена С.А. Теляковским. Для случая, когда $p\ge 1$, $q=0$, $v_j=n_{j+1}-1$, а последовательность $\{b_k\}$ является монотонной, А.С. Белов получил критерий принадлежности функции $U(x)$ пространству $L_p$. В теореме 1 данной работы получены достаточные условия сходимости указанного выше интеграла, которые при $\gamma(r)= B/{r}$, $B>0$, совпадают с достаточными условиями С.А.Теляковского. В случае $\gamma(r)= O(1/{r})$ условия С.А. Теляковского могут не выполняться, а применение теоремы 1 позволяет гарантировать сходимость интеграла. Соответствующие примеры приведены в последнем параграфе работы. Вопрос о необходимых условиях сходимости интеграла $\int_0^\pi U^p(x)/{x^q}dx$, где $p>0$, $q\in[1-p;1)$, остается открытым.
Ключевые слова: тригонометрический ряд, суммы модулей блоков, степенной вес.
Список литературы
1. Белов А.С. О суммах модулей членов сгруппированного тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами // Вестн. Иванов. гос. ун-та. Сер. Биология, химия, физика, математика. 2006. Вып. 3. С. 107–121.
2. Белов А.С. О свойствах суммы модулей членов сгруппированного тригонометрического ряда // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 6. C. 35–62.
3. Белов А.С., Теляковский С.А. Усиление теорем Дирихле — Жордана и Янга о рядах Фурье функций ограниченной вариации // Мат. сб. 2007. Т. 198, № 6. С. 25–40.
4. Заставный В.П. Оценки сумм из модулей блоков тригонометрических рядов Фурье // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 166–179.
5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 c.
6. Leindler L. On the uniform convergence and boundedness of a certain class of sine series // Anal. Math. 2001. Vol. 27, no. 4. P. 279–285.
7. Попов А.Ю., Теляковский С.А. К оценкам частных сумм рядов Фурье функций ограниченной вариации // Изв. вузов. Математика. 2000. № 1. С. 51–55.
8. Теляковский С.А. О частных суммах рядов Фурье функций ограниченной вариации // Тр. МИАН. 1997. Т. 219. С. 378–386.
9. Telyakovskii S.A. Some properties of Fourier series of functions with bounded variation // East J. Approx. 2004. Vol. 10, no. 1–2. P. 215–218.
10. Теляковский С.А. Некоторые свойства рядов Фурье функции ограниченной вариации. II // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 168–174.
11. Теляковский С.А. О свойствах блоков членов ряда ∑ 1/k sinkx // Укр. мат. журн. 2012. Т. 64, №5. С. 713–718.
12. Теляковский С.А. Добавление к работе В. П. Заставного “Оценки сумм из модулей блоков тригонометрических рядов Фурье” // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. C. 277–281.
13. Trigub R.M. A note on the paper of Telyakovskii "Certain properties of Fourier series of functions with bounded variation"// East J. Approx. 2007. Vol. 13, no. 1. P. 1–6.
14. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2 т. М: Мир, 1985. Т. 1, 264 с.
Поступила 15.05.2017
Заставный Виктор Петрович д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор
Донецкий национальный университет, г. Донецк, Украина
e-mail: zastavn@rambler.ru
Левадная Антонина Сергеевна
аспирант
Донецкий национальный университет, г. Донецк, Украина
e-mail: last.dris@mail.ru
V.P. Zastavnyi, A.S. Levadnaya. Power wight integrability for sums of moduli of blocks from trigonometric series.
The following problem is studied: find conditions on sequences $\{\gamma(r)\}$, $\{n_j\}$, and $\{v_j\}$ under which, for any sequence$\{b_k\}$ such that $\sum_{k=r}^{\infty}|b_k-b_{k+1}|\leq\gamma(r)$, $b_k\to 0$, the integral $\int_0^\pi U^p(x)/{x^q}dx$ is convergent, where $p>0$, $q\in[1-p;1)$, and $U(x):=\sum_{j=1}^{\infty}\left|\sum_{k=n_j}^{v_j}b_k \sin kx\right|$. In the case $\gamma(r)={B}/{r}$, $B>0$, this problem was studied and solved by S.A. Telyakovskii. In the case where $p\ge 1$, $q=0$, $v_j=n_{j+1}-1$, and the sequence $\{b_k\}$ is monotone, A.S. Belov obtained a criterion for the belonging of the function $U(x)$ to the space$L_p$. In Theorem 1 of the present paper, we give sufficient conditions for the convergence of the above integral, which for $\gamma(r)= B/{r}$, $B>0$, coincide with Telyakovskii's sufficient conditions. In the case $\gamma(r)= O(1/{r})$, Telyakovskii's conditions may be violated, but the application of Theorem 1 guarantees the convergence of the integral. The corresponding examples are given in the last section of the paper. The question on necessary conditions for the convergence of the integral $\int_0^\pi U^p(x)/{x^q}dx$, where $p>0$ and $q\in[1-p;1)$, remains open.
Keywords: trigonometric series, sums of moduli of blocks, power weight.
The paper was received by the Editorial Office on May 15, 2017.
Viktor Petrovich Zastavnyi, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Donetsk National University, Universitetskaya str. 24, Donetsk, 83001, Ukraine, e-mail: zastavn@rambler.ru
Antonina Sergeevna Levadnaya, doctoral student, Donetsk National University, Universitetskaya str. 24, Donetsk, 83001, Ukraine, e-mail: last.dris@mail.ru
