А.А. Ершов. Контактное сопротивление квадратного контакта ... С. 105-113.

УДК 517.955.8

MSC: 35С20, 35Q60

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-105-113

Исследование выполнено за счет средств гранта Российского научного фонда (проект \No~15-11-10018).

Рассмотрено проводящее тело в форме параллелепипеда, по торцам которого подключены малые контакты квадратной формы. Потенциал электрического тока моделируется при помощи краевой задачи для уравнения Лапласа в параллелепипеде. По всей границе задана нулевая нормальная производная, кроме областей границы под контактами, где предполагается, что производная по нормали равна ненулевой постоянной. Физически такое условие соответствует наличию тонкой плохо проводящей плёнки на поверхности контактов. Решение данной задачи получено методом разделения переменных, затем найдено электрическое сопротивление как некоторый функционал от решения в виде суммы двойного ряда. Главной целью работы является исследование зависимости сопротивления от малого параметра, характеризующего размер контактов. Главный член этой асимптотики и есть контактное сопротивление. Математическая проблема заключается в том, что сумма ряда, выражающая сопротивление, зависит от малого параметра сингулярно: при стремлении его к нулю ряд расходится. В качестве метода решения данной задачи использована замена ряда на двумерный интеграл. Найден главный член асимптотики и оценка остатка. Главный вклад в оценку остатка вносит разность между двумерным интегралом и двойной суммой.

Ключевые слова: контактное сопротивление, краевая задача, электрический потенциал, уравнение Лапласа, малый параметр.

Список литературы

1. Holm R. $\ddot{\mathrm{U}}$ber Kontaktwiderst$\ddot{\mathrm{a}}$nde, besonders bei Kohlekontakten // Zeitschrift f$\ddot{\mathrm{u}}$r technische Physik. 1922. Vol. 3, no.9, P. 290-294; no. 10, P. 320-327; no. 11, P. 349-357.

2. Holm R., St$\ddot{\mathrm{o}}$rmerR. Eine Kontrolle des metallischen Charakters von gereinigten Platinkontakten // Wissenschaftliche Ver$\ddot{\mathrm{o}}$ ffentlichungen aus dem Siemens-Konzern. 1930. Band 9, heft 2. P. 323-330.

3. Павлейно О.М., Павлов В.А., Павлейно М.А. Уточнение границ применимости хольмовского приближения для расчета сопротивления электрических контактов // Электронная обработка материалов. 2010. Т. 46, № 5. С. 56-62.

4. Затовский В.Г. Минаков Н.В. Экспериментальное моделирование сопротивления стягивания // Электрические контакты и электроды. 2010. № 10. C. 132-139.

5. Хольм Р. Электрические контакты. М.: Иностранная литература, 1961. 314 с.

6. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. 229 с.

7. Гадыльшин Р.Р., Ершов А.А., Репьевский С.В. Об асимптотической формуле для электрического сопротивления в проводнике с малыми контактами // Уфим. мат. журн. 2015. Т. 7, № 3. С. 16-28.

8. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. 336 с.

9. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. 515 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 т). Т. 8: Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.

11. Ершов А.А. Асимптотика решения задачи Неймана с дельтообразной граничной функцией // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 50, № 3. С. 479-485.

12. Ершов А.А. Асимптотика решения уравнения Лапласа со смешанными условиями на границе // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 7. С. 1064-1080.

13. Ершов А.А. К задаче об измерении электропроводности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, № 6. С. 1004-1007.

14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974. 296 с.

Поступила 13.02.2017

Ершов Александр Анатольевич
кaнд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург
доцент
Челябинский государственный университет, г. Челябинск
e-mail: ale10919@yandex.ru

English

A.A. Ershov. Contact resistance of a square contact.

We consider a conductive body in the form of a parallelepiped with small square contacts attached to its ends. The potential of the electric current is modelled by a boundary value problem for the Laplace equation in a parallelepiped. The zero normal derivative is assigned on the boundary except for the areas under the contacts, where the derivative is a nonzero constant. Physically, this condition corresponds to the presence of a low-conductivity film on the surface of the contacts. The problem is solved by separation of variables, and then the electrical resistance is found as a functional of the solution in the form of the sum of a double series. Our main aim is to study the dependence of the resistance on a small parameter characterizing the size of the contacts. The leading term of the asymptotics that expresses this dependence is the contact resistance. The mathematical problem is to treat the singular dependence of the sum of the series corresponding to the resistance on the small parameter: the series diverges as the small parameter vanishes. We solve this problem by replacing the series with a two-dimensional integral. We find the leading term of the asymptotics and estimate the remainder. It turns out that the main contribution to the remainder is made by the difference between the two-dimensional integral and the double sum.

Keywords: contact resistance, boundary value problem, electric potential, Laplace equation, small parameter.

The paper was received by the Editorial Office on February, 31, 2017.

Aleksandr Anatol'evich Ershov, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathe\-matics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Chelyabinsk State University, Chelya\-binsk,  454001 Russia, e-mail: ale10919@yandex.ru .