УДК 515.122.55+515.122.4
MSC: 54C35, 54E52; Secondary 54C30, 54H05
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-200-214
В работе исследуются свойство Бэра и свойство Шоке для пространства $K_1(X,Y)$ – первого функционального класса Лебега отображений, где $X$ – тихоновское пространство, а $Y\in \{\mathbb{R}, [0,1], \{0,1\}\}$. Доказано, что пространство $B_1(X,[0,1])$ – $[0,1]$-значных отображений Бэра первого класса является пространством Шоке (бэровское) тогда и только тогда, когда пространство $K_1(X,\{0,1\})$ является пространством Шоке (бэровское). Полученные исследования позволяют достаточно просто решить вопрос В. Ткачука о совпадении свойств псевдокомпактности и псевдополноты в пространстве $C_p(X,[0,1])$.
Ключевые слова: свойство Бэра, пространство Шоке, бэровские функции, отображения функционального класса Лебега, функциональное пространство.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973. 575 с.
2. Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир, 1974. 158 с.
3. Lutzer D., McCoy R. Category in function spaces. I // Pacific J. Math. 1980. Vol. 90, no.1. P. 145–168. https://doi.org/10.2140/pjm.1980.90.145
4. Пыткеев Е.Г., Свойство Бэра пространств непрерывных функций // Мат. заметки. 1985. Vol. 38, № 5. P. 726–740.
5. Tkachuk V. Characterization of the Baire property in $C_p(X)$ by the properties of the space X // Research papers in Topology–Maps and extensions of topological spaces (Ustinov). 1985. P. 21–27.
6. Douwen E.K. van Collected papers. Vol. 1 / ed. J. van Mill. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1994. 767 p. ISBN-10: 0444816259 .
7. Banakh T., Gabriyelyan S. Baire category properties of some Baire type function spaces // Topol. Appl. 2020. Vol. 272. Art. no. 107078. https://doi.org/10.1016/j.topol.2020.107078
8. Osipov A.V. Baire property of space of Baire-one functions // Eur. J. Math. 2025. Vol. 11. Art. no. 8. 25 p. https://doi.org/10.1007/s40879-024-00799-1
9. Lukeš J., Malý J., Zajíček L. Fine topology methods in real analysis and potential theory. Ser. Lecture Notes in Math., vol. 1189. Berlin; Heidelberg: Springer, 1986. 476 p. https://doi.org/10.1007/BFb0075894
10. Sakai M. Two properties of $C_p(X)$ weaker than the Fréchet-Urysohn property // Topol. Appl. 2006. Vol. 153, no. 15. P. 2795–2804. https://doi.org/10.1016/j.topol.2005.11.012
11. Kąkol J., Kurka O., Leiderman A. Some classes of topological spaces extending the class of Δ-spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 2024. Vol. 152, no. 2. P. 883–898. https://doi.org/10.1090/proc/16661
12. Osipov A.V. Baireness of the space of pointwise stabilizing functions of the first Baire class // Topol. Appl. 2025. Vol. 362. Art. no. 109218. 5 p. https://doi.org/10.1016/j.topol.2025.109218
13. Karlova O., Mykhaylyuk V. On stable Baire classes // Acta Math. Hungar. 2016. Vol. 150, no. 1. P. 36–48. https://doi.org/10.1007/s10474-016-0636-8
14. Osipov A.V., Pytkeev E.G. Baire property of spaces of [0,1]-valued continuous functions // Rev. Real Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A-Mat. 2023. Vol. 117, no. 1. Art. no. 38. 10 p.
https://doi.org/10.1007/s13398-022-01371-w
15. Осипов А.В. О свойстве Бэра пространства индикаторных бэровских функций // Мат. заметки. 2025. Vol. 118, № 4. P. 564–574 .
16. Kuratowski K. Topology. Vol. 1. NY: Acad. Press, 1966. 560 p. https://doi.org/10.2307/3611898
17. Tkachuk V.V. A $C_p$-theory problem book. Topological and function spaces. NY: Springer, 2011. 488 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7442-6
18. Oxtoby J.C. The Banach–Mazur game and Banach category theorem // Contributions to the theory of games, vol. 3; Ann. of Math. Stud., no. 39, NJ, Princeton, Princeton Univer. Press, 1957. P. 159–163.
19. Osipov A.V. The $\Delta_1$-property of X is equivalent to the Choquet property of $B_1(X)$ // Topol. Appl. 2025. Vol. 370. Art. no. 109395. 6 p. https://doi.org/10.1016/j.topol.2025.109395
20. Banakh T., Hryniv O. Some Baire category properties of topological groups // Visnyk Lviv. Univ. Ser. Mech.-Mat. 2018. Vol. 86. P. 71–76. https://doi.org/10.48550/arXiv.1901.01420
21. Karlova O. On α-embedded sets and extension of mappings // Comment. Math. Univ. Carolin. 2013. Vol. 54, no. 3. P. 377–396. https://doi.org/10.48550/arXiv.1407.6155
22. Hrušák M., Tamariz-Mascarúa Á., Tkachenko M. Pseudocompact topological spaces. A survey of classic and new results with open problems. Cham: Springer, 2018. 299 p. (Ser. Developments in Mathematics; vol. 55.)
https://doi.org/10.1007/978-3-319-91680-4
Поступила 25.04.2025
После доработки 24.06.2025
Принята к публикации 30.06.2025
Осипов Александр Владимирович
д-р физ.-мат. наук
зав. сектором отдела алгебры и топологии
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: OAB@list.ru
Ссылка на статью: А.В. Осипов. О свойствах типа полноты пространств первого функционального класса Лебега отображений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. С. 200–214.
English
A.V. Osipov. On the properties of completeness type of spaces of first functional class Lebesgue mappings
In this paper we study the Baire property and the Choquet property for the space $K_1(X,Y)$ – first functional class Lebesgue mappings, where $X$ is a Tychonoff space and $Y\in \{\mathbb{R}, [0,1], \{0,1\}\}$. It is proved that the space $B_1(X,[0,1])$ – $[0,1]$-valued Baire mappings of the first class is a Choquet (Baire) space if and only if the space $K_1(X,\{0,1\})$ is a Choquet (Baire) space. The obtained studies allow us to quite simply solve V. Tkachuk's question about the coincidence of pseudocompactness and pseudocompleteness of the space $C_p(X,[0,1])$.
Keywords: Baire property, Choquet space, Baire functions, Lebesgue functional class mappings, function space.
Received April 25, 2025
Revised June 24, 2025
Accepted June 30, 2025
Alexander Vladimirovich Osipov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: OAB@list.ru
Cite this article as: A.V. Osipov. On the properties of completeness type of spaces of first functional class Lebesgue mappings. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 200–214.
[References -> on the "English" button bottom right]
