УДК 517.518+517.983
MSC: 47B38, 54C35, 47A58, 26D10
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-3-fon-01
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 25-21-00118,
https://rscf.ru/project/25-21-00118/ .
Дано решение задачи Стечкина о наилучшем приближении в равномерной норме на числовой оси операторов дифференцирования дробного (а точнее, вещественного) порядка $k$ линейными ограниченными операторами из пространства $L^2$ в пространство $C$ на классе функций $\mathcal{Q}^n$, преобразование Фурье дробной производной порядка $n$, $0\le k<n,$ которых суммируемо. Приведено соответствующее точное неравенство Колмогорова. Получено решение задачи об оптимальном восстановлении оператора дифференцирования дробного порядка $k$ на функциях класса $\mathcal{Q}^n$, заданных с известной погрешностью в пространстве $L^2.$
Ключевые слова: оператор дробного дифференцирования, задача Стечкина, неравенство Колмогорова, оптимальное дифференцирование.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. C. 137–148.
2. Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв. вузов. Математика. 1995. № 11. С. 42–68.
3. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 6(312). С. 89–124. https://doi.org/10.4213/rm1019
4. Arestov V.V., Filatova M.A. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187. P. 65–81. https://doi.org/10.1016/j.jat.2014.08.001
5. Арестов В.В., Акопян Р.Р. Задача Стечкина о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными и родственные ей задачи // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 7–31. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-4-7-31
6. Babenko V., Kovalenko O., Parfinovych N. On approximation of hypersingular integral operators by bounded ones // J. Math. Anal. Appl. 2022. Vol. 513. P. 1–21. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126215
7. Arestov V.V. Approximation of differentiation operators by bounded linear operators in Lebesgue spaces on the axis and related problems in the spaces of (p,q)-multipliers and their predual spaces // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no. 2. P. 4–27. https://doi.org/10.15826/umj.2023.2.001
8. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наук. думка, 2003. 591 c.
9. Тихомиров В.М., Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства для производных // Избранные тр. Математика и механика А. Н. Колмогоров. М.: Наука, 1985. С. 387–390.
10. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 231–244.
11. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
12. Осипенко К.Ю. Введение в теорию оптимального восстановления: учебное пособие для вузов. СПб.: Лань, 2022. 388 c.
13. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.
14. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965. 328 с.
15. Габушин В.Н. Неравенства для норм функции и ее производных в метриках $L_p$ // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 3. С. 291–298.
16. Szőkefalvi-Nagy B. Über Integralunglechungen zwischen einer Funktion und ihrer ableitung // Acta Sci. Math. 1941. Vol. 10. P. 64–74.
17. Габушин В.Н. Точные константы в неравенствах между нормами производных функции // Мат. заметки. 1968. Т. 4, № 2. С. 221–232.
Поступила 13.03.2025
После доработки 3.04.2025
Принята к публикации 7.04.2025
Опубликована онлайн 30.05.2025
Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru
Ссылка на статью: В.В. Арестов. Наилучшее приближение оператора дифференцирования дробного порядка в равномерной норме на оси на классе функций с суммируемым преобразованием Фурье старшей производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 47–63.
English
V.V. Arestov. Best approximation of a fractional-order differentiation operator in the uniform norm on the axis on the class of functions with integrable Fourier transform of the highest derivative
A solution is given to Stechkin's problem on the best approximation in the uniform norm on the real axis of differentiation operators of fractional (more precisely, real) order $k$ by bounded linear operators from the space $L^2$ to the space $C$ on the class of functions $\mathcal{Q}^n$ whose Fourier transform of the $n$th-order fractional derivative, $0\le k<n,$ is integrable. The corresponding exact Kolmogorov inequality is given. A solution is obtained to the problem of optimal recovery of the differentiation operator offractional order $k$ on functions of the class $\mathcal{Q}^n$ defined with a known error in the space $L^2.$
Keywords: fractional-order differentiation operator, Stechkin's problem, Kolmogorov inequality, optimal differеntiation.
Received March 13, 2025
Revised April 3, 2025
Accepted April 7, 2025
Published online May 30, 2025
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project 25-21-00118, https://rscf.ru/project/25-21-00118/ .
Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru
Cite this article as: V.V. Arestov. Best approximation of a fractional-order differentiation operator in the uniform norm on the axis on the class of functions with integrable Fourier transform of the highest derivative. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 47–63.
[References -> on the "English" button bottom right]
