УДК 519.62
MSC: 00A05
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-64-76
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2025-1549).
В разд. 1 предлагаются способы возможного контроля одним наблюдателем $f$ движущейся по кратчайшей траектории $\cal T$ пары недружественных объектов ${\bf t}_1, {\bf t}_2$, способных направить в сторону наблюдателя опасные для него скоростные мини-объекты. Траектория $\cal T$ огибает заданные телесные выпуклые множества, состоит из дуг и соединяющих их прямолинейных отрезков. Наблюдатель изображается точкой или шаром $V_{\varepsilon}(f)$ малого радиуса $\varepsilon >0$, в центре которого расположен радар. Первый алгоритм предназначен для слежения за прямолинейным движением, а второй — за движением объектов по дуге. Каждый алгоритм представлен в двух вариантах, соответствующих случаям: $\varepsilon=0,\ \varepsilon>0$. В разд. 2 предлагаются способы отслеживания наблюдателем $f$ потока объектов ${\bf t}_i$, движущихся с постоянной скоростью по гладкой геодезической дуге $\Lambda$. Наблюдатель высвечивает объекты в момент прохождения их через заданные неподвижные контрольные пункты $t_j$, равномерно расположенные на $\Lambda$. Наблюдатель выбирает позицию $f_{i,j}$, с которой возможно осветить одновременно два объекта ${\bf t}_k,\ {\bf t}_l$, проходящие через некоторые пункты $t_i,\ t_j$ соответственно, избегая встречи с направленными на него мини-объектами m$_k$, m$_l$. Целью наблюдателя могут быть:
(1) освещение (включая неоднократное) по возможности большего числа объектов, определение их назначения, и присутствия на разных этапах движения потока;
(2) освещение объектов из заранее заданной группы, и только их, и др.
Ключевые слова: навигация, автономный аппарат, траектория, наблюдатель.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бердышев В.И. Способы наблюдения за движущимся в $\mathbb{R}^3$ объектом в условиях его противодействия // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2024. Т. 517. С. 120–124. https://doi.org/10.31857/S2686954324030205
2. Милка А.Д. Кратчайшие линии на выпуклых поверхностях // Мат. заметки. 1984. Т. 35, № 4. С. 617–635.
3. Буземан Г. Выпуклые поверхности. М.: Наука, 1964. 238 с.
Поступила 27.03.2025
После доработки 26.06.2025
Принята к публикации 30.06.2025
Бердышев Виталий Иванович
академик РАН
научный руководитель
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
г.Екатеринбург
e-mail: bvi@imm.uran.ru
Ссылка на статью: В.И. Бердышев. Поток движущихся по геодезической дуге в $\mathbb{R}^2,$ $\mathbb{R}^3$ объектов и наблюдатель // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С.64–76.
English
V.I. Berdyshev. Stream of moving objects along a geodesic arc in $\mathbb{R}^2,$ $\mathbb{R}^3$ and an observer
In Section 1, a methodology for a single observer $f$ to control a pair of enemy objects ${\bf t}_1, {\bf t}_2$ moving along the shortest trajectory $\cal T$ is proposed, with the assumption that these objects are capable of directing dangerous high-speed mini-objects toward the observer. The trajectory $\cal T$ curves around given bodily convex sets and consists of arcs and straight segments that connect them. The observer is represented by a point or sphere $V_{\varepsilon}(f)$ of small radius $\varepsilon >0$, at the center of which a radar is located. The first algorithm aims to track rectilinear motion, whereas the second algorithm aims to track the motion of objects along an arc. Each algorithm is presented in two versions, corresponding to the following cases: $\varepsilon=0,\ \varepsilon>0$. In Section 2, a methodology for an observer $f$ to track a stream of objects ${\bf t}_i$ moving at a constant speed along a smooth geodesic arc $\Lambda$ is proposed. The observer illuminates the objects as they pass through specified fixed control points $t_j$ uniformly distributed along $\Lambda$. The observer selects a position $f_{i,j}$ from which it is possible to simultaneously illuminate two objects ${\bf t}_k,\ {\bf t}_l$ passing through specific points $t_i,\ t_j$, respectively, while avoiding encounters with mini-objects m$_k$, m$_l$, which are directed toward the observer. The observer's objectives may be as follows:
(a) illuminate as many objects as possible (including repeatedly), determine their purpose, and detect their presence at different stages of the stream;
(b) illuminating objects from a predefined group, and only those objects, etc.
Keywords: navigation, autonomous apparatus, trajectory, observer.
Received March 27, 2025
Revised June 26, 2025
Accepted June 30, 2025
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2025-1549).
Vitalii Ivanovich Berdyshev, RAS Academician, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108, Russia, e-mail: bvi@imm.uran.ru
Cite this article as: V.I. Berdyshev. Stream of moving objects along a geodesic arc in $\mathbb{R}^2,$ $\mathbb{R}^3$ and an observer. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 64–76.
[References -> on the "English" button bottom right]
