В.Р. Лазарев. Сравнение пространств функционалов с конечным носителем ... С. 101-109

УДК 515.12

MSC: 54C35

DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-101-109

В данной статье под функционалом понимается всякая непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $C_p(X)$ такая, что $f(0)=0$. Изучается пространство $FS(X)$ функционалов с конечным носителем и его подпространство $\hat{L}_p(X)$. Эти пространства сравниваются с пространством линейных непрерывных функционалов $L_p(X)$. Доказана теорема об общем виде функционала с конечным носителем. С ее помощью показано, что три упомянутых пространства функционалов попарно различны. Доказано, что $FS(X)$ всюду плотно в пространстве всех функционалов. Доказано, что $\hat{L}_p(X)$ нигде не плотно в пространстве всех функционалов, но сумма $L_p(X)+ \hat{L}_p(X)$ всюду плотна в нем. Последний факт указывает, что пространство $\hat{L}_p(X)$ существенно шире, чем $L_p(X)$. Пространство функционалов $\hat{L}_p(X)$ определяет некоторый класс $\hat LH$ гомеоморфизмов пространств непрерывных функций, подобно тому как пространство $L_p(X)$ определяет класс линейных гомеоморфизмов. Уже известно, что гомеоморфизмы из класса $\hat LH$ сохраняют число Линделёфа области определения. В данной статье доказано, что не всегда гомеоморфизм класса $\hat LH$ можно заменить на линейный. Следовательно, мы имеем обобщение известной теоремы Бузиада об $l$-инвариантности числа Линделёфа.

Ключевые слова: топология поточечной сходимости, функционал с конечным носителем, число Линделёфа, $l$-эквивалентность

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Velichko N.V. The Lindelöf property is 1-invariant // Topol. Appl. 1998. Vol. 89. P. 277–283. https://doi.org/10.1016/S0166-8641(97)00219-8

2.   Bouziad A. Le degré de Lindelöf est l-invariant // Proc. American Math. Soc. 2001. Vol. 129, no. 3. P.  913–919. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05553-2

3.   Lazarev V.R. On a class of homeomorphisms of function spaces preserving the Lindelöf number of domains // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2023. Т. 86. С. 159–166. https://doi.org/10.17223/19988621/86/12

4.   Gul’ko S.P. The space $C_p(X)$ for countable infinite compact X is uniformly homeomorphic to $c_0$ // Bull. Acad. Pol. Sci. 1988. Vol. 36, no. 5–6 P. 391–396.

5.   Górak R. Function spaces on ordinals // Comment. Math. Univ. Carol. 2005. Vol. 46, no. 1 P. 93–103.

6.   Genze L.V., Gul’ko S.P., Khmyleva T.E. Classification of spaces of continuous functions on ordinals // Comment. Math. Univ. Carol. 2018. Vol. 59, no. 3. P. 365–370. https://doi.org/10.14712/1213-7243.2015.250

7.   Bessaga C., Pełczyński A. Spaces of continuous functions IV. On isomorphical classification of spaces of continuous functions // Stud. Math. 1960. Vol. 19. P. 53–62. https://doi.org/10.4064/sm-19-1-53-62

8.   Архангельский А.В. Топологические пространства функций. Москва: Издв-во МГУ, 1989. 222 c.

Поступила 12.12.2024

После доработки 15.01.2025

Принята к публикации 20.01.2025

Лазарев Вадим Ремирович
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры
Томский государственный университет
г. Томск
e-mail: lazarev@math.tsu.ru

Ссылка на статью: В.Р. Лазарев. Сравнение пространств функционалов с конечным носителем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 101-109

English

V.R. Lazarev. Comparison of spaces of functionals with finite support

In this paper, a functional is understood as any continuous real-valued function $f$ on $C_p(X)$ such that $f(0)=0$. The space $FS(X)$ of functionals with finite support and its subspace $\hat{L}_p(X)$ are studied. These spaces are compared with the space of linear continuous functionals $L_p(X)$. A theorem on the general form of a functional with finite support is proved. The theorem is used to show that the three mentioned spaces are pairwise distinct. It is also proved that $FS(X)$ is everywhere dense in the space of all functionals and that $\hat{L}_p(X)$ is nowhere dense in the space of all functionals, but the sum $L_p(X)+ \hat{L}_p(X)$ is dense in that space. The latter fact implies that the space $\hat{L}_p(X)$ is essentially wider than $L_p(X)$. The functional space $\hat{L}_p(X)$ defines some class $\hat LH$ of homeomorphisms of spaces of continuous functions, similarly to how the space $L_p(X)$ defines the class of linear homeomorphisms. It is already known that homeomorphisms of the class $\hat LH$ preserve the Lindelöf number of domains. We prove that a homeomorphism of the class $\hat LH$ cannot always be replaced by a linear one. Hence we have a generalization of Bouziad's known theorem on the $l$-invariance of the Lindelöf number.

Keywords: pointwise convergence topology, functional with finite support, Lindelöf number, $l$-equivalence

Received December 12, 2024

Revised January 15, 2025

Accepted January 20, 2025

Vadim Remirovich Lazarev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Mechanics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, 634050 Russia, e-mail: lazarev@math.tsu.ru

Cite this article as: V.R. Lazarev. Comparison of spaces of functionals with finite support. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 101–109.