В.Р. Лазарев. Сравнение пространств функционалов с конечным носителем ... С. 101-109

УДК 515.12

MSC: 54C35

DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-101-109

В данной статье под функционалом понимается всякая непрерывная вещественнозначная функция f на Cp(X) такая, что f(0)=0. Изучается пространство FS(X) функционалов с конечным носителем и его подпространство ˆLp(X). Эти пространства сравниваются с пространством линейных непрерывных функционалов Lp(X). Доказана теорема об общем виде функционала с конечным носителем. С ее помощью показано, что три упомянутых пространства функционалов попарно различны. Доказано, что FS(X) всюду плотно в пространстве всех функционалов. Доказано, что ˆLp(X) нигде не плотно в пространстве всех функционалов, но сумма Lp(X)+ˆLp(X) всюду плотна в нем. Последний факт указывает, что пространство ˆLp(X) существенно шире, чем Lp(X). Пространство функционалов ˆLp(X) определяет некоторый класс ˆLH гомеоморфизмов пространств непрерывных функций, подобно тому как пространство Lp(X) определяет класс линейных гомеоморфизмов. Уже известно, что гомеоморфизмы из класса ˆLH сохраняют число Линделёфа области определения. В данной статье доказано, что не всегда гомеоморфизм класса ˆLH можно заменить на линейный. Следовательно, мы имеем обобщение известной теоремы Бузиада об l-инвариантности числа Линделёфа.

Ключевые слова: топология поточечной сходимости, функционал с конечным носителем, число Линделёфа, l-эквивалентность

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Velichko N.V. The Lindelöf property is 1-invariant // Topol. Appl. 1998. Vol. 89. P. 277–283. https://doi.org/10.1016/S0166-8641(97)00219-8

2.   Bouziad A. Le degré de Lindelöf est l-invariant // Proc. American Math. Soc. 2001. Vol. 129, no. 3. P.  913–919. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05553-2

3.   Lazarev V.R. On a class of homeomorphisms of function spaces preserving the Lindelöf number of domains // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2023. Т. 86. С. 159–166. https://doi.org/10.17223/19988621/86/12

4.   Gul’ko S.P. The space Cp(X) for countable infinite compact X is uniformly homeomorphic to c0 // Bull. Acad. Pol. Sci. 1988. Vol. 36, no. 5–6 P. 391–396.

5.   Górak R. Function spaces on ordinals // Comment. Math. Univ. Carol. 2005. Vol. 46, no. 1 P. 93–103.

6.   Genze L.V., Gul’ko S.P., Khmyleva T.E. Classification of spaces of continuous functions on ordinals // Comment. Math. Univ. Carol. 2018. Vol. 59, no. 3. P. 365–370. https://doi.org/10.14712/1213-7243.2015.250

7.   Bessaga C., Pełczyński A. Spaces of continuous functions IV. On isomorphical classification of spaces of continuous functions // Stud. Math. 1960. Vol. 19. P. 53–62. https://doi.org/10.4064/sm-19-1-53-62

8.   Архангельский А.В. Топологические пространства функций. Москва: Издв-во МГУ, 1989. 222 c.

Поступила 12.12.2024

После доработки 15.01.2025

Принята к публикации 20.01.2025

Лазарев Вадим Ремирович
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры
Томский государственный университет
г. Томск
e-mail: lazarev@math.tsu.ru

Ссылка на статью: В.Р. Лазарев. Сравнение пространств функционалов с конечным носителем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 101-109

English

V.R. Lazarev. Comparison of spaces of functionals with finite support

In this paper, a functional is understood as any continuous real-valued function f on Cp(X) such that f(0)=0. The space FS(X) of functionals with finite support and its subspace ˆLp(X) are studied. These spaces are compared with the space of linear continuous functionals Lp(X). A theorem on the general form of a functional with finite support is proved. The theorem is used to show that the three mentioned spaces are pairwise distinct. It is also proved that FS(X) is everywhere dense in the space of all functionals and that ˆLp(X) is nowhere dense in the space of all functionals, but the sum Lp(X)+ˆLp(X) is dense in that space. The latter fact implies that the space ˆLp(X) is essentially wider than Lp(X). The functional space ˆLp(X) defines some class ˆLH of homeomorphisms of spaces of continuous functions, similarly to how the space Lp(X) defines the class of linear homeomorphisms. It is already known that homeomorphisms of the class ˆLH preserve the Lindelöf number of domains. We prove that a homeomorphism of the class ˆLH cannot always be replaced by a linear one. Hence we have a generalization of Bouziad's known theorem on the l-invariance of the Lindelöf number.

Keywords: pointwise convergence topology, functional with finite support, Lindelöf number, l-equivalence

Received December 12, 2024

Revised January 15, 2025

Accepted January 20, 2025

Vadim Remirovich Lazarev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Mechanics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, 634050 Russia, e-mail: lazarev@math.tsu.ru

Cite this article as: V.R. Lazarev. Comparison of spaces of functionals with finite support. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 101–109.